Brief_1 in Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_001.doc)
101 Oronoco Ave. (Apt. 2)
Sehr geehrter Herr Professor Gödel:
Ich arbeite gerade an einer philosophischen Analyse des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten und bin dabei auf eine Bemerkung Karl Mengers über Sie gestossen, die mir nicht klar ist. Menger schreibt (Krise und Neubau in den exakten Wissenschaften, Die neue Logik, Leipzig. Wien 1933,[
2] S.11): "Nun hat ... Gödel kürzlich gefunden, dass nicht nur die intuitionistische Mathematik ein Teil der klassischen ist, sondern auch der gesamte klassische Aussagenkalkül und die gesamte klassische Zahlentheorie samt dem Satz vom ausgeschlossenen (Dritten) als Teil des Intuitionismus aufgefasst werden können, indem man durch ein einfaches Wörterbuch jeden klassischen Satz in einen intuitionistischen übersetzen kann. ... Die Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten hat also (da die Intuitionisten Unmöglichkeiten von Allaussagen zulassen) in Wahrheit gar keine Einschränkung, sondern
bloss eine Umbenennung der klassischen Sätze zu Folge." Menger weist dabei auf <"Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums", 4, Leipzig 1933> [
3] hin, das mir hier aber leider nicht zugänglich ist, weshalb ich mich an Sie direkt mit der Bitte um freundliche Auskunft wende.
Die intuitionistische Mathematik ist ein Teil der klassischen. Ich verstehe das. Wenn es dann aber weiter heisst, dass der klassische (also zweiwertige) Aussagenkalkül als
Teil des Intuitionismus aufgefasst werden kann, so müssen doch wohl
zwei verschiedene Konzeptionen des Tertium non datur im Spiel sein.
1. wenn die intuitionistische Math. Teil der Klassischen ist, dann steht sie
unter dem
generellen klassischen Tertium non datur
2. wenn das Tertium non datur Teil des Intuitionismus ist, muss hier eine
speziellere Interpretation des Drittensatzes in Frage kommen.
Nun lässt sich der Drittensatz in der Tat auf verschiedene Weise formulieren, so dass wir einmal eine allgemeinere (schwächere) Formulierung, das andere Mal eine stärkere (aber speziellere) Version erhalten. Als allgemeinere Formulierung möchte ich anführen:
[(A
Æ B)
² (~A
Æ B)]
Æ B (1)
Die andere erhalten wir auf die folgende Weise. Wir gehen von dem logischen
e-Axiom
aus. Dabei soll
e(A) ein Objekt bezeichnen für das A(x) wahr ist, wenn A(x) überhaupt für irgend ein Objekt wahr ist. Mit "
e" lässt sich nun sowohl der Existenz wie der Alloperator definieren: |
Auf Grund dieser Definition liefert uns "
e" die zweite Formulierung für das Tertium non datur:
~[(x)A(x)]
Æ (Ex) ~A(x) (2)
Was ich gern wissen möchte ist: ist die zitierte Bemerkung Mengers so zu verstehen, dass die intuitionistische Mathematik ein
Teil des Systems ist das durch (1) umschrieben wird und enthält sie andererseits (2) als einen Teil ihrer selbst?
Zwischen (1) und (2) besteht ja in der Tat ein beträchtlicher ontologischer Unterschied. Lassen Sie mich, bitte, diesen Unterschied auf folgende Weise beschreiben: Paul Hofmann hat in einer Studie, die zum Besten gehört, was über den Drittensatz geschrieben worden ist, die "unklare Fassung" des Tertium non datur gerügt.[
4] Es fehle diesem logischen Axiom ein oberster Bestimmungsgesichtspunkt unter dem sich "A" und "~A" kontradiktorisch ausschliessen. Das ist in der Tat für Formulierung (1) der Fall.
Dagegen ist für (2) ein solcher oberster Bestimmungsgesichtspunkt vorausgesetzt. Derselbe ist durch
e(A) gegeben. D.h. es muss ein Objekt
vorhanden sein, auf das sich die Aussage bezieht. Der oberste Bestimmungsgesichtspunkt ist also: objektiv vorhandenes Sein ... oder (wenn Sie sich an dem metaphysischen Terminus <Sein> stossen) gegenständliche Existenz.
Der Kern der intuitionistischen Einwände scheint mir nun darin zu liegen, dass für jede
positive Formulierung von (2) eine allgemeinere gefunden werden kann, die die vorangehende positive Formulierung des angeblichen obersten Bestimmungsgesichtspunkts desavouiert. <Sein> ist kein absolutes Datum, sondern ein Komplementärbegriff zu dem jeweiligen logischen Interpretationssystem, das wir benutzen. Deshalb ist (2) immer nur relativ gültig für
aufgewiesene Existenz für die der Intuitionismus den Drittensatz ja in der Tat zulässt.
Die Formulierung (1) aber repräsentiert die nach Hofmann "unklare Formulierung" des Tertium non datur. Der oberste Bestimmungsgesichtspunkt für die totale Disjunktion fehlt. Nur ist das m.E.
kein Mangel. Denn dieses Fehlen indiziert dass (1) die Formulierung des Drittensatzes für eine unendliche Hierarchie aufeinander folgender
möglicher Bestimmungsgesichtspunkte ist. In diesem Sinn würde (1) den Intuitionismus einschliessen.
Habe ich Unrecht, so wäre ich für entsprechende Berichtigung durch Sie herzlich dankbar. Bitte vergessen Sie nicht, ich bin meiner Ausbildung nach Historiker und Metaphysiker. Ich versuche das, was heute in Logik und Mathematik geschieht philosophisch zu interpretieren, aber nicht es besser zu machen.
Vorläufig versuche ich allerdings meine Kollegen in der Metaphysik ohne jeden Erfolg zu der Ansicht zu bekehren, dass man heutzutage nicht mehr Metaphysik treiben kann, ohne die Arbeit der letzten hundert Jahre in symbolischer Logik und Mathematik zugrunde zu legen.
Jedenfalls bemühe ich mich für meine Person das zu tun und wäre Ihnen deshalb für Ihre Hilfe herzlich dankbar.
Mit freundlichen Grüssen und besten Dank im Voraus
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Brief_2 in Goedel-Ausgabe: (Goedel_GG_002.doc)
Sehr geehrter Herr Dr. Günther:
Um zu erklären, in welchem Sinn die von Ihnen zitierte Mengersche Äußerung zu verstehen ist, möchte ich zunächst feststellen, daß, wörtlich genommen, weder die intuit. Math. ein Teil der klassischen ist, noch umgekehrt. Denn die intuit. Begriffe sind verschieden von den gleichbezeichneten klassischen u. können auch nicht aus diesen definiert werden (noch umgekehrt). Wie Sie richtig bemerken, hat diese Verschiedenheit ihren Grund darin, daß verschiedene Begriffe des Seins verwendet werden. Das hindert aber nicht, daß es gewisse Begriffe in der klass. Math. gibt, die
formal denselben Gesetzen gehorchen wie die int. Begriffe[
5] , u. umgekehrt Begriffe in der int. Math., für die formal die Grundsätze der klass. Math. gelten. Das erstere | gilt z.B. (innerhalb von Aussagen u. Funktionenkalkül 1. Stufe) für die gleichbezeichneten Begriffe. Das letztere gilt (innerhalb der Zahlentheorie), wenn man den klass. Begriffen:
~p, p
Þq, pq, p
...q, (x)F(x), (
$x)F(x),
die folgenden intuit. entsprechen läßt:
~p, p
Þq, ~(~p
Þ~q), ~(p
Þ~q), (x)F(x),
Für das so definierte "oder" gilt offenbar der Drittensatz in der intuit. Math. u. dasselbe gilt für die andern logischen Grundsätze [
6] u. daher auch für alle Theoreme. Die klass. Zahlentheorie hat also ein vollständiges formales Bild innerhalb der int. Zahlentheorie, u. da es in der Math. in erster Linie auf die Form (u. nicht den Inhalt) ankommt, so heißt das für die Math. praktisch dasselbe, als wenn die klass. Zahlentheorie Teil der intuit. wäre. Sie haben Recht daß dabei zwei verschiedene Konzeptionen des Drittensatzes im Spiel sind. Die zweite, die in der intuit. Math gilt, lautet: "p und ~p können nicht beide falsch sein". Was Sie als zweite (speziellere) Konzeption anführen, nämlich:
~(x)A(x).
... .(
$x)~A(x) (2)
gilt nicht in der intuit. Math u. ist (zumindest innerhalb der Zahlentheorie) sogar mit p~p, sowie auch mit der von Ihnen angeführten 1. Konzeption äquivalent. Für
entscheidbare Eigenschaften A (d.h. solche für die (x)[A(x)~A(x)] beweisbar ist), wobei x eine Variable für natürliche Zahlen ist, gilt (2) für
gewisse formaliserte Teilsysteme ·SÒ des Int.[
7] in dem Sinn, daß, wenn eine Ableitung eines Widerspruchs
in S aus (x)A(x) vorliegt, eine Zahl n berechnet werden | kann, für die ~A(n) gilt.
Es ist mir nicht klar, was Sie unter Ihrer "unendlichen Hierarchie möglicher Bestimmungsgesichtspunkte für den Drittensatz" verstehen. Wenn Sie damit meinen, daß es zwischen aufgewiesener u. objektiver Existenz eine unendliche Folge von in verschiedenem Grade aufweisbarer Existenz gibt, so würde ich dem in einem gewissen Sinne zustimmen. Aber der Kern der int. Einwände liegt wohl darin, daß gezeigt wird, daß für aufweisbare Existenz gewisse Sätze der klass. Math. unbewiesen u. andere sogar nachweislich falsch werden (z.B. gilt ja für gewisse Satzklassen
K im Int.:
Ich bin ganz Ihrer Meinung, daß die Anwendung der Methoden u. Resultate der Math. nicht auf die positivistische Phil. beschränkt bleiben sollte. Ich habe mich sehr gefreut, daß Sie das Stipendium der Bollingen Foundation bekommen haben u. wünsche Ihnen besten Erfolg für Ihre Arbeit.
1 Anmerkung_vgo: Die mit Ziffern versehenen Fußnoten stammen aus der englischen Gödelausgabe und wurden hier übernommen. Die Fußnoten, von Günther bzw. Gödel sind jeweils mit GG bzw. KG gekennzeichnet.
1 Die Textstellen aus GGs Briefen, die in der englischen Gödel-Ausgabe weggelassen wurden, wurden in den vorliegenden Dateien eingefügt und jeweils mit drei blau markieren Sternchen (
***) am Anfang (linker Seitenrand) und am Ende (rechter Seitenrand) des in der englischen Ausgabe weggelassenen Textes versehen.
1 Es wurden auch weitere Briefe von GG, die in der englischen Gödel-Ausgabe (Kurt Gödel - Collected Works, Vol. IV Collection A-G, [S.Feferman, J.W.Dawson, Jr., W.Goldfarb, Ch. Parsons, W.Sieg, eds.] Clarendon Press, Oxford 2003, p. 456-535) fehlen mit aufgenommen. Die Briefe, die in der Gödel-Ausgabe abgedruckt sind, erkennt man an der Überschrift "Gödel an Günther" bzw. "Günther an Gödel". Darüber hinaus ist noch aus organisatorischen Gründen bei den Briefen, die in der Gödel-Ausgabe erschienen sind, jeweils auf eine WinDoc Datei verwiesen, z.B., (Goedel_GG_001.doc)
1 Für die Konjunktion wurde wie in den Briefen von GG als Symbol der Punkt "
² " gewählt.
3 I.e.
Gödel 1933e. These pointed brackets in the German text are in the letter and so do not signify an insertion. Günther fairly frequently uses pointed brackets as another style of quotation marks. For his pointed brackets we use < and >; to signify insertions we use ( and ). In the translation, however, the usual American conventions concerning quotation have been followed.
4 Hofmann 1931. Günther may refer to pp. 13-14 (= pp. 93-95-of Hofmann 1931a)
5 d.h. genauer, die allen Gesetzen der intuit. Math. gehorchen ohne Riicksicht darauf, ob sie vielleicht außerdem noch andern gehorchen.
6 was nicht so trivial ist wie im Fall des Drittensatzes
6 which is not as trivial as in the case of the law of the excluded middle.
7 z.B. für das Heytingsche System der int. Zahlentheorie
