Brief_3: Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_003.doc)
101 Oronoco Ave. (Apt. 2)
Sehr geehrter Herr Professor Gödel:
Vor einigen Tagen erhielt ich Ihren eingehenden Brief vom 15. V., und ich möchte Ihnen hiermit recht herzlich für die darin enthaltene Auskunft danken. Ihr Schreiben hat mir in der Tat einige Punkte, die mir in der Literatur unklar geblieben waren, aufgehellt. Speziell die Mengersche Äußerung, hinter der ich etwas ganz Anderes vermutet hatte. - Ich könnte diesen Brief damit schließen. Wenn ich dies aber nicht tue und Ihnen hiermit einige weitere Gedankengänge unterbreite, bitte ich mir zu glauben, dass ich dies mit Rücksicht auf Ihre kostbare Zeit nur äußerst zögernd tue. Aber ich befinde mich in einer gewissen Zwangslage. Ich bin - abgesehen von den Neo-Thomisten - so ziemlich der einzige Metaphysiker, der davon überzeugt ist, dass man heute nicht Metaphysik treiben kann, ohne die Ergebnisse der symbolischen mathematischen Logik vorauszusetzen. Und die symbolische Logik im Neo-Thomismus (Ivo Thomas z.B.) ist meiner Ansicht nach auf einem Irrweg. Es wird dort nämlich nicht zugegeben, dass der logische Positivismus überzeugend demonstriert hat, dass die
klassische ontologische Meta-
|physik wissenschaftlich unhaltbar ist. Anstatt die Resultate der Logistik für eine
neue Metaphysik zu verwenden, versucht man dort immer noch die mittelalterliche Kirchenmetaphysik (die Fundamental-ontologie) mit mathematischer Logik zu beweisen. Auf der anderen Seite steht Heidegger, der erst kürzlich wieder die Logistik eine "Ausartung", die sich mit einem "Schein der Produktivität" umgibt, genannt hat.[
1] - Von diesen Leuten her, können meine Gedanken also keine Kontrolle erfahren. Ich muss mich also schon an mathematische Logiker wenden.
Im Folgenden möchte ich Ihnen einige grundsätzliche Gedanken unterbreiten, in denen mich Ihr Brief noch bestärkt hat. Ich bitte Sie dieselben nur zur Kenntnis zu nehmen, und Sie brauchen diesen Brief nicht zu beantworten. Es sei denn, Sie entdecken in meinen philosophischen Theoremen etwas das positiv falsch auf der Basis Ihrer eigenen Untersuchungen und Ergebnisse sein muss. In diesem Fall wäre ich für einen entsprechenden Hinweis äußerst dankbar:
Die oberste Formel der klassischen Philosophie seit Plato/Aristoteles lautet
. D. h. Sein des Seienden. Wir haben also ein zweistufiges Wissen. Empirisches Wissen vom
Seienden (Math. & Physik) und apriorisches Wissen vom
Sein (Logik & Metaphysik).[
2] Dem zweistufigen Wissen entspricht eine zweistufige Objektwelt. Wir haben erstens: den Objektraum als die Vielheit der empirischen Dinge. Dahinter aber steht als zweites, totales Objekt: das absolute Sein.
Kant hat zuerst,
transzendental gezeigt, dass das absolute Sein kein wissenschaftliches Objekt sein kann. Seine Demonstration aber war nicht überzeugend, weil sich die Kantische Transzendentallogik nicht formalisieren lässt. In der Logistik ist dann dasselbe Resultat erreicht worden, mit dem Hinweis darauf, dass Prädikatsfunktionen eine Variable enthalten und dass der Wert der Variablen nur
empirisch aufgenommen werden kann. "Sein" ist der faktische Argumentwert einer Variablen. Quine: "To be is to be the value of a variable."
Damit aber tauchte eine neue, bisher nicht dagewesene Schwierigkeit auf. Ich will sie so kurz als möglich beschreiben. In der klassischen Tradition zählen das Subjekt des Denkens und der Reflexionsprozess überhaupt nicht. Das Ziel des Denkens ist den Sinn des
absolut objektiven Seins zu fassen. Und Wahrheit bedeutet absolute Übereinstimmung des Denkens mit dem absolut objektiven Gegenstand. D.h. alle Kategorien der Logik müssen, wenn sie wahr sein sollen, absolut objektiv definierbar sein. Alles "Subjektive" ist schlechthin zu eliminieren.
Nun kam aber erst die Kritik der reinen Vernunft und erklärte: Dinge an sich sind grundsätzlich keine Objekte des Bewusstseins. Dann kam der logische Positivismus und bestätigte: absolute Objektivität ist eine bloße Fiktion. Überdies hat ca. 1930 Heisenberg in einer bedeutsamen Schrift über die Grundlagen der Quantenmechanik erklärt: "... der absolut isolierte Gegenstand hat prinzipiell keine beschreibbaren Eigenschaften mehr.[
3] D.h. die Experimentalsituation des Beobachters muss in die Beschreibung des Objekts mit hineindefiniert werden.
Schön, wenn das aber so ist, dass das absolut objektive
Sein nur eine Fiktion ist und wir nur
relativ objektiven Seienden begegnen, dann ist die klassische Logik im Irrtum, wenn sie annimmt, dass Objektivität (oder Sein) das
einzige rationale Thema des Denkens ist. Das logische Denken hat dann
zwei fundamentale Themata: 1.) das empirische (relative) Objekt und 2.) den subjektiven Reflexionsprozess; der sich selbst nur teilweise in pseudo-objektive Kategorien auflösen lässt.
Diese beiden Themata aber werden in der gegenwärtigen Logik in einer höchst unzulässigen Weise miteinander vermischt. In Ihrem Aufsatz <Russell's Mathematical Logic> (Evanston & Chicago 1944)[
4] bemerken Sie sehr richtig, dass unser Ziel (aim) ist "... to set up a consistent theory of classes and concepts as objectively existing entities." (S. 152) Andererseits aber bemerken Sie in Ihrem Brief an mich, dass die Differenz zwischen klassischen und intuitionistischen Prinzipien ihren Grund darin hat "dass verschiedene Begriffe des Seins verwendet werden".
Damit aber entsteht die Frage: welcher der verschiedenen Begriffe des Seins soll den "objectively existing entities" zugrunde gelegt werden?
Die Frage ist heute nirgends zureichend beantwortet, weil man sich nicht genügend Rechenschaft über
| die Differenz verschiedener Seinsbegriffe gegeben hat. Um diesen Brief nicht zu lang werden zu lassen, möchte ich das Nächste in Form von Thesen (ohne längere Begründungen) konstatieren:
1) Es gibt zwei, und nur zwei, fundamentale Seinsbegriffe:
a) Sein, das rein objektiv-thematisch definiert werden kann, d.h. ohne das denkende Subjekt in den Objektbegriff mit hinein zu definieren.
b) Sein, doppel-thematisch interpretiert. D.h. der "subjektive" Reflexionsprozess der "Sein" denkt, muss in den Objektbegriff hinein definiert werden.
Die Differenz dieser beiden Seinsbegriffe scheint mir dem Unterschied von klassisch:
~p, p
²q, pq, p
...q, (x)F(x), (Ex)F(x)
~p, p
²q, ~(~p
²~q), p
...q, (x)F(x), ~(x)~F(x)
zugrunde zu liegen. Wenn wir nämlich die klassische Disjunktion durch "~(~p
²~q)" vertreten lassen, so haben wir damit ausgedrückt, dass der Drittensatz klassisch (pq)
nur für absolut objektives Sein gilt. Für den zweiten Seinsbegriff gilt er nur abgeschwächt, insofern als wir den durch "~ ..." ausgedrückten Reflexionsprozess in unsere Konzeption des Objekts hineinnehmen müssen.
Zwischen "~... " in der Tafel
und demselben Zeichen "~ ..." in der Formel "~(~p
²~q)" existiert nämlich ein Unterschied, der mir analog dem Unterschied von freier und gebundener Variablen im Prädikatenkalkül zu sein scheint. In Tafel (I) ist "~..." sozusagen ungebunden, während in der Formel ~(~p
²~q) es ontologisch durch "
æ²æ" <gebunden> ist. D. h. seine Bedeutung Verneinung überhaupt zu sein, ist auf die Verneinung von "
æ²æ" hin präzisiert worden. Dasselbe gibt für die Ersetzung des Existenzoperators durch ~(x)~F(x).
Der Parallelismus zwischen klass. und intuit. Begriffen scheint also anzudeuten, dass wir zwei Kategorien von logischen Entitäten haben: Radikal objektiv thematisiert im Sinn von a) Sein; und doppel-thematisch (objektiv/subjektiv) orientiert im Sinne von b) Sein.
Dem entspricht die Zweiteilung des Prädikatenkalküls, resp. die Teilung in Quantifikationstheorie und Klassentheorie. Ihren eigenen Entdeckungen zufolge ist das Axiomensystem des engeren Funktionenkalküls vollständig (Monatshefte für Math. v. 37 (1930)),[
5] aber es existiert Nichtentscheidbarkeit. Für den weiteren Kalkül gilt, gemäß einer zweiten Entdeckung von Ihnen, weder Vollständigkeit noch Entscheidbarkeit.
Es scheint mir nun (wenn ich Ihre Ergebnisse und die einiger Ihrer Kollegen, z.B. Church, richtig interpretiere [)], dass der Drittensatz in der Quantifikationstheorie eine andere Rolle spielt als in der Klassentheorie. Seine unbedingte, rigorose
|7 Geltung im platonischen-aristotelischen Sinn ist in beiden Fällen verneint. Es scheint mir aber der folgende Unterschied zu bestehen: Für die Quantifikationstheorie ist das Tertium non datur vorläufig suspendiert. Für die Klassentheorie [
6] ist es
schlechthin aufgehoben.
Unter <vorläufig suspendiert> verstehe ich: die Quantifikationstheorie ist ein System, in dem der Drittensatz im klassischen Sinn gelten
würde, wenn man in der Lage wäre den (inhaltlich) unendlichen Umfang dieses Systems erschöpfend darzustellen. Das ist empirisch nicht möglich. Folglich ist seine Geltung im System beschränkt. In anderen Worten: seine Geltung ist nur eingeschränkt für Teilsysteme der Quantifikationstheorie. Er gilt aber klassisch unbedingt für das (nicht-realisierbare) Gesamtsystem.
In der Klassentheorie aber scheinen mir die Dinge anders zu liegen. Hier bedeutet seine Einschränkung nicht, dass seine klassisch-rigorose Geltung vorläufig suspendiert ist, sondern dass sie
endgültig aufgehoben ist. D.h. selbst wenn man die Klassentheorie vollständig, als geschlossenes System, darstellen könnte, würde man entdecken, dass das Tertium non datur auch dann nicht gilt.
Für die Quantifikationstheorie ist das Tertium non datur wenigstens noch ein unendliches (wenn auch nicht erreichbares) formales Ziel des Denkens. Für die Klassentheorie existiert ein solches Ziel nicht. In philosophischer Terminologie: für die Quantifikationstheorie hat der Drittensatz noch thematische Bedeutung. In der Klassentheorie existiert er nur noch athematisch. D.h. wenn man die Klassentheorie vollendet und mit generellen Entscheidungsverfahren darstellen könnte, würde man feststellen, dass das Tertium non datur auch für das Gesamtsystem nicht gilt.
Die hier skizzierte Unterscheidung wird heute in der mathematischen Logik noch nicht gemacht (wenigstens habe ich sie nirgends gefunden), weil man sich, wie ich glaube nicht über den Unterschied von zweiwertiger und dreiwertiger Logik klar ist. Wird der Drittensatz vorläufig suspendiert,
aber nicht thematisch aufgehoben, so bleibt man auf dem Boden der zweiwertigen Logik. D.h. die logische Analyse bewegt sich auf der Basis der Hamletschen Alternativ <Sein oder Nichtsein>. Die Korrespondierenden Werte sind: "wahr" und "falsch".
Wird der Drittensatz aber nicht nur empirisch suspendiert, sondern
endgültig für den gesamten logischen Formalismus aufgehoben, so findet ein Übergang zum (mindestens) dreiwertigen System statt. D.h. das Tertium non datur ist auch für die "Wahrheits"funktionen der Aussagenlogik endgültig beseitigt. Die
endgültige Aufhebung des Tertium non datur impliziert einen radikalen logischen Themawechsel. Im dreiwertigen System ist das Thema <Sein> aufgegeben. Das bedeutet aber, dass die seinsthematischen Werte "wahr" und "falsch" nicht mehr zuständig sind. - Ich habe gerade Rosser und Turquette's Buch "Many valued logics"[
7] gelesen und ich finde es bezeichnend, wie diejenigen Logiker, die sich mit dem Problem mehrwertiger Logiken befassen, immer noch verzweifelt an der klassischen Wertdichotomie festhalten. Sie wird auf die mehrwertigen Logiken dadurch übertragen, dass man dichotomisch zwischen "designierten" und "nicht-designierten" Werten unterscheidet. Das geschieht, weil man sich nicht von dem Gedanken losreissen kann, dass das einzige und alleinige Thema des Denkens objektives "Sein" ist.
Es ist aber falsch anzunehmen, dass alle Eigenschaften von Klassen sich als Eigenschaften eines objektiven Seins darstellen lassen.[
8] Erlauben Sie mir an den Heisenbergschen Satz aus der Quantenphysik zu erinnern:
der "absolut isolierte Gegenstand hat prinzipiell keine beschreibbaren Eigenschaften mehr."[
9]
Der physikalische Sachverhalt ist ein Zusammenhang von Subjekt
und Objekt.
Eine Logik aber, die einer solchen Physik parallel läuft, hat eine neue Aufgabe. Sie hat sich zu fragen, was ist die objektive (irreflexive) und was ist die subjektive (reflexive) Komponente in einem theoretischen Begriff? Wenn ich eine logische Klasse als ein 100% objektives "Ding" auffasse, hat sie auch keine beschreibbaren Eigenschaften mehr, weil ihr dann die kontradiktorischen Eigenschaften "p" und "~p" gleichzeitig zukommen.[
10] Man ist dieser Verlegenheit vermittels der Typentheorie oder der Quineschen Regel R3' (in New Foundations[
110]) oder mit anderen Mitteln, die aber alle auf dasselbe hinauskommen, zuleibe gegangen; aber man hat sich nie gefragt ob nicht die Klassentheorie - abgesehen von der seinsthematischen Wahrheit und Falschheit eines Begriffs - noch eine andere logische Fragestellung suggeriert, nämlich die welche Komponenten eines Begriffs irreflexiv gelten und welche reflexive Bedeutung haben.
Ich verstehe dabei als "irreflexiv", das was unabhängig vom denkenden Subjekt gilt (der klassische Begriff der Objektivität!), und als "reflexiv" dasjenige logische Motiv, in das der Denkprozess (das Subjekt nach Heisenberg) mit hinein definiert werden muss.
Nun ist aber der Gegensatz von "irreflexiv" und "reflexiv" selbst der Gegenstand einer (iterierten) Reflexion. Wir erhalten somit einen dritten Wert, der den Denkprozess designiert, der "irreflexiv" und "reflexiv" unterscheidet. Ich nenne ihn - nach transzendentalem Vorbild - doppeltreflexiv. In meinem Essay für den 11. Phil. Kongress in Brüssel habe ich ausgeführt, dass der Unterschied von "reflexiv" und "doppelt-reflexiv" [
121] auf die Differenz von "Ich" und "Du" im Denken hinauskommt. D.h. Reflexion ist grundsätzlich zweiwertig. Sie kann als
objektiver Vorgang in der Außenwelt interpretiert werden: dann vollzieht sie sich im
anderen Ich, d.h. im Du. Sie kann aber auch als subjektiver Erlebnisprozess, in dem logischen Bedeutungen innerlich erfahren werden, aufgefasst werden. Dann vollzieht sie sich im Ich.
Klassisch ist das ganz gleichgültig, weil alle denkenden Subjekte metaphysisch (angeblich) zusammenfallen. Die Differenz zwischen Reflexion im Subjekt (Ich) und Reflexion im Objekt (Du) wird aber sofort relevant, sobald man anerkannt, dass die Kommunikationstheorie (C. Shannon) ein Teil der Logik ist. Die mitteilbare (objektive) Bedeutung eines Begriffs unterscheidet sich von der denkbaren (subjektiven) Bedeutung. Und beide unterscheiden sich von der Differenz zwischen Mitteilbarkeit und Denkbarkeit.
Diese drei Bedeutungen werden durch meine Werte "irreflexiv" (1), "reflexiv" (2) und "doppelt-reflexiv" (3) auseinandergehalten. Die Klassentheorie verwickelt uns in Paradoxe weil wir die
objektive Bedeutung des Klassenbegriffs als Zeichen auf dem Papier und die
subjektive als Denkprozess im Bewusstsein ignorieren und über dies vergessen, dass die Differenz zwischen der "papiernen" Bedeutung und der in der Reflexion ebenfalls in die Logik eingeschlossen werden muss.[
132]
Das bedeutet aber, dass jeder logische Begriff drei (resp. mindestens drei) funktionale Bedeutungen haben muss. Da die ursprüngliche (klassische) Bedeutung eines Begriffs immer zwischen zwei Werten definiert wird, muss sie jetzt
dreimal zwischen zwei Werten definiert werden. Bitte erlauben Sie mir das zu demonstrieren:
Die klassische Tafel zur Konjunktion und Disjunktion mit "1" für "wahr" und "2" für "falsch" hat bekanntlich folgendes Gestalt
Wir wollen uns nun um die inhaltliche Bedeutung von "" und "" nicht kümmern und nur davon sprechen, dass, wenn die Wertfolge in der Tafel zwischen
zwei Werten unmittelbar nach dem ersten Wert zum anderen übergeht, dann liegt eine K-Sequenz vor. Im anderen Fall aber eine D-Sequenz.
Um die Differenz zwischen irreflexiv (1), reflexiv (2) und doppelt-reflexiv (3) festzustellen, wollen wir jetzt die entsprechenden K- und D-Sequenzen zwischen einer Kombination der folgenden Wertepaare feststellen:
Tafel (I) erweitert sich dann automatisch zu der Tafel einer dreiwertigen Logik und hat folgende Gestalt, wenn wir die einzelnen K- und D-Sequenzen sowohl kombiniert wie separat anschreiben:
Tafel (II) zeigt dass
² nur K-Sequenzen enthält. Also
² gleich KKK. Dagegen
²' gleich DKK, und
²'' gleich KDK.
Nach Tafel (III) ist '' gleich DKD, dann ' gleich KDD und erst ist voll disjunktiv, d.h. DDD. Die so erweiterte Tafel (I) hat überdies die implizite Eigenschaft, den sich zwischen Tafel (II) und (III) noch die Interimstafel (IIa) schiebt. Sie folgt hier:
Wie man sieht, ist
D eine KKD-Funktion und
- eine DDK-Wertfolge. Ich möchte hier auf die merkwürdige vierte Eigenschaft reflexiver Begriffe (die übrigens von Hegel entdeckt worden ist und die er als "Vermittlungsfähigkeit" charakterisiert) nicht eingehen. Andernfalls wird dieser Brief zu einem Buch. Ich ignoriere hier Tafel (IIa). Nun zeigen Tafel (II) und (III), dass Konjunktion, sowohl wie Disjunktion, in einer dreiwertigen Logik mit je
drei verschiedenen Belegungen auftreten.
In den bisherigen Versuchen dreiwertige Kalküle auszubilden, geht man meistens von einer Konjunktion und Disjunktion (C.I. Lewis, sowohl wie Lukasiewicz/Tarski benutzen nur die KKK- und DDD-Sequenzen) aus. Damit aber wird das ganze Problem einer solchen Logik verfehlt, nämlich zu zeigen, unter welchen logischen Gesetzen ein reflexiver Begriff mitgeteilt, d.h. irreflexive dargestellt werden kann. Im Falle der Tafel (II) existiert das Kommunikationsproblem zwischen
²' und
²''. D.h. ein
gedachter Begriff (reflexiv) geht beim Niederschreiben in eine irreflexive Zeichenfolge auf dem Papier über. Wir haben also einen Übergang von DKK in KDK und umgekehrt. Die Bedeutung von "und" im Sinne von KKK aber gehört einer Syntaxgruppe an, in der über die Differenz von DKK und KDK geredet wird.
D.h. das Thema dieser Logik ist nicht mehr "ontologisch" Sein, sondern die Differenz zwischen Sein (Objektivität) und Reflexion, die selber als logisches Reflexionsproblem begriffen wird. Das Kriterium, das zwischen einer Seinslogik und einer Reflexionslogik scheidet, ist der Drittensatz. Was nämlich im Tertium non datur ausgeschlossen wird, ist nämlich die logische Möglichkeit auf das Verhältnis von objektiv Gedachtem und Denkprozess (math: Konstruktion) noch einmal
außerhalb der (zweiwertigen) Logik, die beides vereint, zu reflektieren.[
15]
Aus diesem Grund ist es wichtig zu unterscheiden, ob der Drittensatz nur unendlich suspendiert ist und letztlich
doch das Ziel des Denkens bleibt (indem man sich bemüht immer neue Sätze entscheidungsdefinit zu formulieren), oder ob man das Tertium non datur endgültig aufhebt, und damit zu einer zweiten Logik mit einem neuen Thema übergeht.
In der heute üblichen Unterscheidung zwischen Objektsprache und Syntaxsprache ist dieser Unterschied zwischen seinsthematischen und (reflexiven) seinsthematischen Denken zwar angedeutet, aber nicht konsequent durchgeführt, weil in dem einfachen Gegensatz von Objektsprache und Syntax bestenfalls
zwei fundamentale Bedeutungen eines Begriffs unterschieden werden können. Nun kennt der klassische Kalkül aber nur eine Bedeutung solcher logischen Grundmotive wie "und", "oder", "impliziert" usw. Der dreiwertige Reflexionskalkül aber kennt mindestens drei. Ein Versuch zwei Bedeutungen zu unterscheiden fällt ganz unglücklich dazwischen. Hinter der heutigen Idee der Syntax liegen, wie mir scheint zwei heterogene Probleme verborgen: nämlich die einer ersten Syntax, die mit der Objektsprache korrespondiert und einer zweiten Syntax, in der man über das reflektierende Subjekt
qua Subjekt redet.
æ
Ich bin davon ausgegangen, dass sowohl Kant wie der moderne Positivismus demonstrieren, dass der Begriff eines transzendenten, absoluten Seins wiederspruchsvoll ist. Damit fällt die ontologische Metaphysik fort.
Solange es ein transzendentes, absolutes Sein gibt, kann es auch nur
eine Logik geben. Die Auflösung der absoluten Substanz aber hat zur Folge dass die klassische Logik sich nicht auf das reale Sein richtet (wie Russell annimmt). Wir wissen ja nicht ob es das
|17 überhaupt gibt; sondern sie richtet sich auf - und definiert den
Sinn von Sein, d.h. sie definiert die logische Bedeutung in der identitätstheoretische Motive im Denken verwandt werden.
Das Thema <Sein selbst> kann durch nichts anderes ersetzt werden. Daher nur eine Logik. Dem reduzierten Thema <Sinn des Seins> aber kann als zweites Thema <Sinn der Reflexion> gegenübergestellt werden. So gelangen wir zum Konzept einer zweiten Logik.
Die klassische Logik setzt die metaphysische Identität von Denken und Sein voraus. Folglich kann das Denken kein anderes Thema als objektives Sein haben. Geben wir diese Metaphysik auf (und es ist höchste Zeit dafür), so kann das Denken als zweites ebenbürtiges Thema neben dem Sein (Objekt) das Subjekt (d.h. den Reflexionsprozess) selbst haben.
Haben Sie herzlich Dank, dass Sie mir solange zugehört haben!
P.S.: The aim "to set up a consistent theory of classes and concepts as objectively existing entities" setzt eine Logik voraus in der formal zwischen "objektiv" und "subjektiv" unterschieden werden kann. Das ist aber nur in einer dreiwertigen Logik möglich.
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Brief_4: Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_004.doc)
Sehr geehrter Herr Dr. Günther!
Daß irgendwelche Ihrer phil. Behauptungen meinen Resultaten widersprechen kann ich, beim gegenwärtigen Stand der Dinge, wohl verneinen, obwohl meine Resultate gewisse Formen einer subjektivistischen Interpret. der Math. unmöglich machen u. überhaupt stark gegen jede solche Interpretation sprechen. Was Ihre Deutung der Resultate bez. Unentscheidbarkeit betrifft, so möchte ich folgendes sagen: Es ist richtig, dass gewisse Theoreme von Church, Turing u.a. dahin interpretiert werden können (u. von Brouwer auch dahin interpretiert werden), dass der Drittensatz für gewisse Satzklassen A im Sinne der Formel ~(p) [p
eA.
...p.~p] zu negieren ist. D.h. man kann zeigen: Die Annahme, man hätte bewiesen, dass der Drittensatz für alle p aus A gilt, führt auf einen Widerspruch. Es stimmt auch, dass nichtsdestoweniger der Drittensatz als unerreichbares Ziel des Denkens bestehen bleiben könnte,
|2 da trotzdem für jedes einzelne p aus A p~p beweisbar sein kann (Fall I). Die letztere Behauptung hat aber intuit. keinen Sinn, sondern setzt den Begriff der objektiven Existenz voraus. Die entsprechende int. formulierbare Behauptung aber, nämlich: ~(
$p)[p
eA.
².~(p~p)] gilt für jedes A. D.h. es kann innerhalb der int. Math. von keinem Satz bewiesen werden, dass er unentscheidbar ist. Nichtsdestoweniger könnte das von gewissen Sätzen der int. Math. objektiv richtig u. in der Existential-Math. sogar beweisbar sein. (Fall II). Aber die Unterscheidung der Fälle I u. II. hat, wie gesagt, intuit. keinen Sinn,[
16] ausser daß eventuell einer der beiden Fälle auf Grund gewisser Tatsachen
·empirisch
Ò wahrscheinlich werden könnte. Ich glaube auch nicht, dass der "Themawechsel" des Denkens etwas mit den Fällen I, II zu tun hat; denn dieser tritt ja schon in dem Augenblick ein, wo der Begriff der aufweisbaren Existenz eingeführt wird, u. würde auch dann bestehen bleiben, wenn man für diese den Drittensatz beweisen könnte. Ob I die Grenze zwischen I u. II mit der zwischen engerem und höherem Funktionenkalkül zusammenfällt, darüber ist nichts bekannt. Mein Resultat über die Vollständigkeit des eng. Funkt. Kalk. hat, int. interpretiert, nichts mit dem Drittensatz zu tun, sondern betrifft den Satz der doppelten Negation (~~p
...p). Es ist auch nicht bekannt, ob für die ganze int. Math. der Fall II eintritt. Denn diese liegt ja nicht in formalisierter Gestalt vor u. von Brouwer wird sogar die Möglichkeit einer vollständigen Formalisierung bestritten.
Sie haben durchaus recht, wenn Sie sagen, dass in der int. Math. eine Selbstreflexion des Subjekts vorliegt u. dass der Begriff der Absurdität eine geb. Variable enthält. Er bedeutet ja: "Es gibt (im Sinne der Aufweisbarkeit) eine Widerlegung" . Die in der idealist. Phil. behandelte Reflexion auf das Subjekt (d.h. Ihr II Thema d. Denkens), die Unterscheidung von Reflexionsstufen etc. scheint mir sehr interessant u. wichtig. Ich halte es sogar für durchaus
|3 möglich, dass dies "der" Weg zur richtigen Metaphysik ist. Die damit verbundene (in Wahrheit aber davon ganz unabhängige) Ablehnung der objektiven Bedeutung des Denkens kann ich aber nicht mitmachen. Ich glaube nicht, dass irgend ein Kantsches oder positivistisches Argument oder die Antinomien d. Mengenl., oder die Quantenmechanik bewiesen hat, dass der Begriff des objektiven Seins (gleichgültig ob für Dinge oder abstrakte Wesenheiten) sinnlos oder widerspruchsvoll ist. [
17] Wenn ich sage, dass man eine Theorie der Klassen als objektiv existierender Gegenstände entwickeln kann (oder soll), so meine ich damit durchaus Existenz im Sinne der ontol. Metaphysik, womit ich aber nicht sagen will, daß die abstrakten Wesenheiten in der Natur vorhanden sind. Sie scheinen vielmehr eine zweite Ebene der Realität zu bilden, die uns aber ebenso objektiv. u. von unserem Denken unabhängig gegenübersteht wie die Natur. Ich kann in diesem Brief leider nicht mehr auf Ihre 3-wertige Logik eingehen. Was ich bisher vermisse, ist eine nähere Erklärung des inhaltlichen Zusammenhangs der Wahrheitstabellen mit Ihren philosophischen Ideen.
Zum Schluß möchte ich noch sagen, dass ich Ihnen jederzeit gerne mit weiteren Auskünften zur Verfügung stehe.
1 Günther probably refers to the postscript of 1943 to
Heidegger 1929. There Heidegger raises the question whether thought stands "in the law of truth" when it "follows that thought that 'logic' grasps in its forms and rules". He mentions "die 'Logik', als deren folgerichtige Ausartung die Logistik gelten darf" (" 'logic', as whose consistent degeneration symbolic logic may count", 1967, p. 104). Heidegger enters into a discussion of calculation, and it is "calculating thought" that is said to be given a "Schein der Produktivität" (illusion of productivity) by the nature of calculation (ibid.). Friedman (2000, note 207) considers that the larger passage is a reply to the famous criticism of Heidegger 1929 in Carnap 1932.
2 The line "Empirisches Wissen ... apriorisches" is marked by lines in the margin. It is probable that all such markings are by Gödel.
3 Heisenberg 1931, p. 182.
6 GG: Oder wenigstens Teile derselben
7 Rosser and Turauette 1952
.
8 Dieser Satz ist am Seitenrand markiert.
9 Heisenberg 1931, p. 182.
10 Dieser Satz ist am Seitenrand markiert.
110 R3' is the well-known schema of stratified comprehension of Quine 1937; cf. Quine 1980, p. 92.
121 Günther 1953, especially pp. 47-49. See § 1 of the introductory note.
132 Der Abschnitt ist von seinem Beginn bis "Bewusstsein" am Seitenrand markiert.
14) Anmerkung_vgo: Diese Markierung deutet den Beginn des Teils an, der in der englischen Ausgabe der Gödel-Briefe fehlt. Das Ende der Auslassung wird durch drei Sterne am rechten Seitenrand markiert.
15 Anmerkung_vgo: Dieser Satz ist am Seitenrand markiert.
16 Ich habe bloß bewiesen: "Jede Formel ist entweder widerlegbar oder es gibt eine Realisierung", nicht aber: "oder die Existenz einer Realisierung ist beweisbar". Das letztere ist für jedes formale System falsch.
16 I have only proved, "Every formula is either refutable or there is a realization [of it], not, however, "or the existence of a realization is provable". The latter is false for every formal system.
17 Damit will ich natürlich nicht behaupten, dass schon das naive Denken das objektive Sein in allen Punkten richtig erfasst, wie die ontol. Metaphysik vielfach anzunehmen scheint.
17 Of course I don't wish by that to claim that naive thought already grasps objective being correctly on all points, as ontological metaphysics often seems to suppose.
