Brief_3: Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_003.doc)
101 Oronoco Ave. (Apt. 2)
Sehr geehrter Herr Professor Gödel:
Vor einigen Tagen erhielt ich Ihren eingehenden Brief vom 15. V., und ich möchte Ihnen hiermit recht herzlich für die darin enthaltene Auskunft danken. Ihr Schreiben hat mir in der Tat einige Punkte, die mir in der Literatur unklar geblieben waren, aufgehellt. Speziell die Mengersche Äußerung, hinter der ich etwas ganz Anderes vermutet hatte. - Ich könnte diesen Brief damit schließen. Wenn ich dies aber nicht tue und Ihnen hiermit einige weitere Gedankengänge unterbreite, bitte ich mir zu glauben, dass ich dies mit Rücksicht auf Ihre kostbare Zeit nur äußerst zögernd tue. Aber ich befinde mich in einer gewissen Zwangslage. Ich bin - abgesehen von den Neo-Thomisten - so ziemlich der einzige Metaphysiker, der davon überzeugt ist, dass man heute nicht Metaphysik treiben kann, ohne die Ergebnisse der symbolischen mathematischen Logik vorauszusetzen. Und die symbolische Logik im Neo-Thomismus (Ivo Thomas z.B.) ist meiner Ansicht nach auf einem Irrweg. Es wird dort nämlich nicht zugegeben, dass der logische Positivismus überzeugend demonstriert hat, dass die
klassische ontologische Meta-
|physik wissenschaftlich unhaltbar ist. Anstatt die Resultate der Logistik für eine
neue Metaphysik zu verwenden, versucht man dort immer noch die mittelalterliche Kirchenmetaphysik (die Fundamental-ontologie) mit mathematischer Logik zu beweisen. Auf der anderen Seite steht Heidegger, der erst kürzlich wieder die Logistik eine "Ausartung", die sich mit einem "Schein der Produktivität" umgibt, genannt hat.[
1] - Von diesen Leuten her, können meine Gedanken also keine Kontrolle erfahren. Ich muss mich also schon an mathematische Logiker wenden.
Im Folgenden möchte ich Ihnen einige grundsätzliche Gedanken unterbreiten, in denen mich Ihr Brief noch bestärkt hat. Ich bitte Sie dieselben nur zur Kenntnis zu nehmen, und Sie brauchen diesen Brief nicht zu beantworten. Es sei denn, Sie entdecken in meinen philosophischen Theoremen etwas das positiv falsch auf der Basis Ihrer eigenen Untersuchungen und Ergebnisse sein muss. In diesem Fall wäre ich für einen entsprechenden Hinweis äußerst dankbar:
Die oberste Formel der klassischen Philosophie seit Plato/Aristoteles lautet
. D. h. Sein des Seienden. Wir haben also ein zweistufiges Wissen. Empirisches Wissen vom
Seienden (Math. & Physik) und apriorisches Wissen vom
Sein (Logik & Metaphysik).[
2] Dem zweistufigen Wissen entspricht eine zweistufige Objektwelt. Wir haben erstens: den Objektraum als die Vielheit der empirischen Dinge. Dahinter aber steht als zweites, totales Objekt: das absolute Sein.
Kant hat zuerst,
transzendental gezeigt, dass das absolute Sein kein wissenschaftliches Objekt sein kann. Seine Demonstration aber war nicht überzeugend, weil sich die Kantische Transzendentallogik nicht formalisieren lässt. In der Logistik ist dann dasselbe Resultat erreicht worden, mit dem Hinweis darauf, dass Prädikatsfunktionen eine Variable enthalten und dass der Wert der Variablen nur
empirisch aufgenommen werden kann. "Sein" ist der faktische Argumentwert einer Variablen. Quine: "To be is to be the value of a variable."
Damit aber tauchte eine neue, bisher nicht dagewesene Schwierigkeit auf. Ich will sie so kurz als möglich beschreiben. In der klassischen Tradition zählen das Subjekt des Denkens und der Reflexionsprozess überhaupt nicht. Das Ziel des Denkens ist den Sinn des
absolut objektiven Seins zu fassen. Und Wahrheit bedeutet absolute Übereinstimmung des Denkens mit dem absolut objektiven Gegenstand. D.h. alle Kategorien der Logik müssen, wenn sie wahr sein sollen, absolut objektiv definierbar sein. Alles "Subjektive" ist schlechthin zu eliminieren.
Nun kam aber erst die Kritik der reinen Vernunft und erklärte: Dinge an sich sind grundsätzlich keine Objekte des Bewusstseins. Dann kam der logische Positivismus und bestätigte: absolute Objektivität ist eine bloße Fiktion. Überdies hat ca. 1930 Heisenberg in einer bedeutsamen Schrift über die Grundlagen der Quantenmechanik erklärt: "... der absolut isolierte Gegenstand hat prinzipiell keine beschreibbaren Eigenschaften mehr.[
3] D.h. die Experimentalsituation des Beobachters muss in die Beschreibung des Objekts mit hineindefiniert werden.
Schön, wenn das aber so ist, dass das absolut objektive
Sein nur eine Fiktion ist und wir nur
relativ objektiven Seienden begegnen, dann ist die klassische Logik im Irrtum, wenn sie annimmt, dass Objektivität (oder Sein) das
einzige rationale Thema des Denkens ist. Das logische Denken hat dann
zwei fundamentale Themata: 1.) das empirische (relative) Objekt und 2.) den subjektiven Reflexionsprozess; der sich selbst nur teilweise in pseudo-objektive Kategorien auflösen lässt.
Diese beiden Themata aber werden in der gegenwärtigen Logik in einer höchst unzulässigen Weise miteinander vermischt. In Ihrem Aufsatz <Russell's Mathematical Logic> (Evanston & Chicago 1944)[
4] bemerken Sie sehr richtig, dass unser Ziel (aim) ist "... to set up a consistent theory of classes and concepts as objectively existing entities." (S. 152) Andererseits aber bemerken Sie in Ihrem Brief an mich, dass die Differenz zwischen klassischen und intuitionistischen Prinzipien ihren Grund darin hat "dass verschiedene Begriffe des Seins verwendet werden".
Damit aber entsteht die Frage: welcher der verschiedenen Begriffe des Seins soll den "objectively existing entities" zugrunde gelegt werden?
Die Frage ist heute nirgends zureichend beantwortet, weil man sich nicht genügend Rechenschaft über
| die Differenz verschiedener Seinsbegriffe gegeben hat. Um diesen Brief nicht zu lang werden zu lassen, möchte ich das Nächste in Form von Thesen (ohne längere Begründungen) konstatieren:
1) Es gibt zwei, und nur zwei, fundamentale Seinsbegriffe:
a) Sein, das rein objektiv-thematisch definiert werden kann, d.h. ohne das denkende Subjekt in den Objektbegriff mit hinein zu definieren.
b) Sein, doppel-thematisch interpretiert. D.h. der "subjektive" Reflexionsprozess der "Sein" denkt, muss in den Objektbegriff hinein definiert werden.
Die Differenz dieser beiden Seinsbegriffe scheint mir dem Unterschied von klassisch:
~p, p
²q, pq, p
...q, (x)F(x), (Ex)F(x)
~p, p
²q, ~(~p
²~q), p
...q, (x)F(x), ~(x)~F(x)
zugrunde zu liegen. Wenn wir nämlich die klassische Disjunktion durch "~(~p
²~q)" vertreten lassen, so haben wir damit ausgedrückt, dass der Drittensatz klassisch (pq)
nur für absolut objektives Sein gilt. Für den zweiten Seinsbegriff gilt er nur abgeschwächt, insofern als wir den durch "~ ..." ausgedrückten Reflexionsprozess in unsere Konzeption des Objekts hineinnehmen müssen.
Zwischen "~... " in der Tafel
und demselben Zeichen "~ ..." in der Formel "~(~p
²~q)" existiert nämlich ein Unterschied, der mir analog dem Unterschied von freier und gebundener Variablen im Prädikatenkalkül zu sein scheint. In Tafel (I) ist "~..." sozusagen ungebunden, während in der Formel ~(~p
²~q) es ontologisch durch "
æ²æ" <gebunden> ist. D. h. seine Bedeutung Verneinung überhaupt zu sein, ist auf die Verneinung von "
æ²æ" hin präzisiert worden. Dasselbe gibt für die Ersetzung des Existenzoperators durch ~(x)~F(x).
Der Parallelismus zwischen klass. und intuit. Begriffen scheint also anzudeuten, dass wir zwei Kategorien von logischen Entitäten haben: Radikal objektiv thematisiert im Sinn von a) Sein; und doppel-thematisch (objektiv/subjektiv) orientiert im Sinne von b) Sein.
Dem entspricht die Zweiteilung des Prädikatenkalküls, resp. die Teilung in Quantifikationstheorie und Klassentheorie. Ihren eigenen Entdeckungen zufolge ist das Axiomensystem des engeren Funktionenkalküls vollständig (Monatshefte für Math. v. 37 (1930)),[
5] aber es existiert Nichtentscheidbarkeit. Für den weiteren Kalkül gilt, gemäß einer zweiten Entdeckung von Ihnen, weder Vollständigkeit noch Entscheidbarkeit.
Es scheint mir nun (wenn ich Ihre Ergebnisse und die einiger Ihrer Kollegen, z.B. Church, richtig interpretiere [)], dass der Drittensatz in der Quantifikationstheorie eine andere Rolle spielt als in der Klassentheorie. Seine unbedingte, rigorose
|7 Geltung im platonischen-aristotelischen Sinn ist in beiden Fällen verneint. Es scheint mir aber der folgende Unterschied zu bestehen: Für die Quantifikationstheorie ist das Tertium non datur vorläufig suspendiert. Für die Klassentheorie [
6] ist es
schlechthin aufgehoben.
Unter <vorläufig suspendiert> verstehe ich: die Quantifikationstheorie ist ein System, in dem der Drittensatz im klassischen Sinn gelten
würde, wenn man in der Lage wäre den (inhaltlich) unendlichen Umfang dieses Systems erschöpfend darzustellen. Das ist empirisch nicht möglich. Folglich ist seine Geltung im System beschränkt. In anderen Worten: seine Geltung ist nur eingeschränkt für Teilsysteme der Quantifikationstheorie. Er gilt aber klassisch unbedingt für das (nicht-realisierbare) Gesamtsystem.
In der Klassentheorie aber scheinen mir die Dinge anders zu liegen. Hier bedeutet seine Einschränkung nicht, dass seine klassisch-rigorose Geltung vorläufig suspendiert ist, sondern dass sie
endgültig aufgehoben ist. D.h. selbst wenn man die Klassentheorie vollständig, als geschlossenes System, darstellen könnte, würde man entdecken, dass das Tertium non datur auch dann nicht gilt.
Für die Quantifikationstheorie ist das Tertium non datur wenigstens noch ein unendliches (wenn auch nicht erreichbares) formales Ziel des Denkens. Für die Klassentheorie existiert ein solches Ziel nicht. In philosophischer Terminologie: für die Quantifikationstheorie hat der Drittensatz noch thematische Bedeutung. In der Klassentheorie existiert er nur noch athematisch. D.h. wenn man die Klassentheorie vollendet und mit generellen Entscheidungsverfahren darstellen könnte, würde man feststellen, dass das Tertium non datur auch für das Gesamtsystem nicht gilt.
Die hier skizzierte Unterscheidung wird heute in der mathematischen Logik noch nicht gemacht (wenigstens habe ich sie nirgends gefunden), weil man sich, wie ich glaube nicht über den Unterschied von zweiwertiger und dreiwertiger Logik klar ist. Wird der Drittensatz vorläufig suspendiert,
aber nicht thematisch aufgehoben, so bleibt man auf dem Boden der zweiwertigen Logik. D.h. die logische Analyse bewegt sich auf der Basis der Hamletschen Alternativ <Sein oder Nichtsein>. Die Korrespondierenden Werte sind: "wahr" und "falsch".
Wird der Drittensatz aber nicht nur empirisch suspendiert, sondern
endgültig für den gesamten logischen Formalismus aufgehoben, so findet ein Übergang zum (mindestens) dreiwertigen System statt. D.h. das Tertium non datur ist auch für die "Wahrheits"funktionen der Aussagenlogik endgültig beseitigt. Die
endgültige Aufhebung des Tertium non datur impliziert einen radikalen logischen Themawechsel. Im dreiwertigen System ist das Thema <Sein> aufgegeben. Das bedeutet aber, dass die seinsthematischen Werte "wahr" und "falsch" nicht mehr zuständig sind. - Ich habe gerade Rosser und Turquette's Buch "Many valued logics"[
7] gelesen und ich finde es bezeichnend, wie diejenigen Logiker, die sich mit dem Problem mehrwertiger Logiken befassen, immer noch verzweifelt an der klassischen Wertdichotomie festhalten. Sie wird auf die mehrwertigen Logiken dadurch übertragen, dass man dichotomisch zwischen "designierten" und "nicht-designierten" Werten unterscheidet. Das geschieht, weil man sich nicht von dem Gedanken losreissen kann, dass das einzige und alleinige Thema des Denkens objektives "Sein" ist.
Es ist aber falsch anzunehmen, dass alle Eigenschaften von Klassen sich als Eigenschaften eines objektiven Seins darstellen lassen.[
8] Erlauben Sie mir an den Heisenbergschen Satz aus der Quantenphysik zu erinnern:
der "absolut isolierte Gegenstand hat prinzipiell keine beschreibbaren Eigenschaften mehr."[
9]
Der physikalische Sachverhalt ist ein Zusammenhang von Subjekt
und Objekt.
Eine Logik aber, die einer solchen Physik parallel läuft, hat eine neue Aufgabe. Sie hat sich zu fragen, was ist die objektive (irreflexive) und was ist die subjektive (reflexive) Komponente in einem theoretischen Begriff? Wenn ich eine logische Klasse als ein 100% objektives "Ding" auffasse, hat sie auch keine beschreibbaren Eigenschaften mehr, weil ihr dann die kontradiktorischen Eigenschaften "p" und "~p" gleichzeitig zukommen.[
10] Man ist dieser Verlegenheit vermittels der Typentheorie oder der Quineschen Regel R3' (in New Foundations[
110]) oder mit anderen Mitteln, die aber alle auf dasselbe hinauskommen, zuleibe gegangen; aber man hat sich nie gefragt ob nicht die Klassentheorie - abgesehen von der seinsthematischen Wahrheit und Falschheit eines Begriffs - noch eine andere logische Fragestellung suggeriert, nämlich die welche Komponenten eines Begriffs irreflexiv gelten und welche reflexive Bedeutung haben.
Ich verstehe dabei als "irreflexiv", das was unabhängig vom denkenden Subjekt gilt (der klassische Begriff der Objektivität!), und als "reflexiv" dasjenige logische Motiv, in das der Denkprozess (das Subjekt nach Heisenberg) mit hinein definiert werden muss.
Nun ist aber der Gegensatz von "irreflexiv" und "reflexiv" selbst der Gegenstand einer (iterierten) Reflexion. Wir erhalten somit einen dritten Wert, der den Denkprozess designiert, der "irreflexiv" und "reflexiv" unterscheidet. Ich nenne ihn - nach transzendentalem Vorbild - doppeltreflexiv. In meinem Essay für den 11. Phil. Kongress in Brüssel habe ich ausgeführt, dass der Unterschied von "reflexiv" und "doppelt-reflexiv" [
121] auf die Differenz von "Ich" und "Du" im Denken hinauskommt. D.h. Reflexion ist grundsätzlich zweiwertig. Sie kann als
objektiver Vorgang in der Außenwelt interpretiert werden: dann vollzieht sie sich im
anderen Ich, d.h. im Du. Sie kann aber auch als subjektiver Erlebnisprozess, in dem logischen Bedeutungen innerlich erfahren werden, aufgefasst werden. Dann vollzieht sie sich im Ich.
Klassisch ist das ganz gleichgültig, weil alle denkenden Subjekte metaphysisch (angeblich) zusammenfallen. Die Differenz zwischen Reflexion im Subjekt (Ich) und Reflexion im Objekt (Du) wird aber sofort relevant, sobald man anerkannt, dass die Kommunikationstheorie (C. Shannon) ein Teil der Logik ist. Die mitteilbare (objektive) Bedeutung eines Begriffs unterscheidet sich von der denkbaren (subjektiven) Bedeutung. Und beide unterscheiden sich von der Differenz zwischen Mitteilbarkeit und Denkbarkeit.
Diese drei Bedeutungen werden durch meine Werte "irreflexiv" (1), "reflexiv" (2) und "doppelt-reflexiv" (3) auseinandergehalten. Die Klassentheorie verwickelt uns in Paradoxe weil wir die
objektive Bedeutung des Klassenbegriffs als Zeichen auf dem Papier und die
subjektive als Denkprozess im Bewusstsein ignorieren und über dies vergessen, dass die Differenz zwischen der "papiernen" Bedeutung und der in der Reflexion ebenfalls in die Logik eingeschlossen werden muss.[
132]
Das bedeutet aber, dass jeder logische Begriff drei (resp. mindestens drei) funktionale Bedeutungen haben muss. Da die ursprüngliche (klassische) Bedeutung eines Begriffs immer zwischen zwei Werten definiert wird, muss sie jetzt
dreimal zwischen zwei Werten definiert werden. Bitte erlauben Sie mir das zu demonstrieren:
Die klassische Tafel zur Konjunktion und Disjunktion mit "1" für "wahr" und "2" für "falsch" hat bekanntlich folgendes Gestalt
Wir wollen uns nun um die inhaltliche Bedeutung von "" und "" nicht kümmern und nur davon sprechen, dass, wenn die Wertfolge in der Tafel zwischen
zwei Werten unmittelbar nach dem ersten Wert zum anderen übergeht, dann liegt eine K-Sequenz vor. Im anderen Fall aber eine D-Sequenz.
Um die Differenz zwischen irreflexiv (1), reflexiv (2) und doppelt-reflexiv (3) festzustellen, wollen wir jetzt die entsprechenden K- und D-Sequenzen zwischen einer Kombination der folgenden Wertepaare feststellen:
Tafel (I) erweitert sich dann automatisch zu der Tafel einer dreiwertigen Logik und hat folgende Gestalt, wenn wir die einzelnen K- und D-Sequenzen sowohl kombiniert wie separat anschreiben:
Tafel (II) zeigt dass
² nur K-Sequenzen enthält. Also
² gleich KKK. Dagegen
²' gleich DKK, und
²'' gleich KDK.
