Brief_6: Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_006.doc)
Sehr verehrter Herr Professor Gödel:
Es scheint mir ziemlich lange her seit wir miteinander korrespondiert haben. Inzwischen hat sich manches ereignet. Die Universität Hamburg hat mich eingeladen im kommenden Wintersemester als Gastprofessor dort in der Philosophischen Fakultät zu lesen. Im Oktober werde ich hinüber fahren. Als Hauptkolleg habe ich "Metaphysik der Geschichte" gewählt. Daneben werde ich ein Seminar für Anfänger über moderne geschichtsphilosophische Theorien halten, und ein Seminar für Fortgeschrittene über transzendentale Logik.
Das aber nur nebenbei. Der Zweck meines Briefes ist ein anderer. Ich habe seit unserer letzten Korrespondenz einen Gedankengang ausgearbeitet, den ich Ihnen gern zur Kritik unterbreiten möchte.
Sie stimmten mir in Ihrem letzten Briefe bei, dass die modernen Bemühungen der mathematischen Logik im Wesentlichen eine Reflexion auf
das Denken selbst darstellen. Wenn wir darin übereinstimmen, so sollten wir uns auch über das Folgende verständigen können.
Die obige Einsicht zwingt uns zwischen zwei inversen Typen von Reflexion zu unterscheiden: 1) die Reflexion auf den bona fide Gegenstand, der als etwas
a limine vom Denken Unabhängiges gedacht wird, und 2) die Reflexion auf das Reflektieren in 1).
Es ist unvermeidlich, dass diesen beiden Reflexionstypen zwei grundsätzlich verschiedene Konzeptionen des Begriffes <logischer Gegenstand> entsprechen müssen. Diese Unterscheidung wird aber in der heutigen Logik noch nicht durchgeführt.
Ich will zeigen, was ich meine. Die beiden logischen Gegenstände müssen verschiedenen Identitätscharakter haben. In der Terminologie der älteren logischen Tradition:[
1] der Gegenstand der Reflexion 1) hat Seinsidentität; der Gegenstand der Reflexion 2) aber hat Reflexionsidentität. Der Unterschied findet sich, meines Wissens nach, zum ersten Mal bei Hegel formuliert. Im Anschluss daran haben Sigwart und Benno Erdmann dann analysiert, was Seinsidentität logisch eigentlich bedeutet. Ihr Resultat: Mit sich selbstidentisch sein heißt für den Gegenstand, dass derselbe durch den Denkakt, der sich mit ihm beschäftigt,
nicht verändert wird. Seine (logischen) Eigenschaften bleiben dieselben, gleichgültig, ob er gedacht oder nicht gedacht wird.
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Gerade das aber ist, so sage ich nun, ein Charakteristikum, das die Reflexion, die man zum Gegenstand der Reflexion 2) macht, unmöglich haben kann. Die Reflexion ist ebenfalls mit sich selbst identisch. D.h. sie hat (oder: ist?) Reflexionsidentität.
Ich frage nun, was geht vor, wenn wir die Reflexion selbst denken?
Blicken wir noch einmal zurück auf die Situation, in der sich die Reflexion 1) befindet. Dort ist der Gegenstand "da", mit vor-denklich gegebenen Eigenschaften, die seine Identität ausmachen.
Grundsätzlich anders aber ist die Situation für die Reflexion 2). Hier ist kein unabhängig vom Denken gegebener Gegenstand
da, an den das Reflektieren jetzt herantritt. Es ist ja - per definitionem - der
subjektive Denkakt selbst (der Reflexions
prozess), der jetzt gedacht werden soll. Derselbe muss also erst zum Gegenstand
gemacht werden. D.h., er muss als logisches
Objekt "gesetzt"[
2] werden. Indem ich die Reflexion selbst denke, mache ich sie aus einem
subjekthaften Prozess in einen
objekthaften Sachverhalt. Resultat: Reflexionsidentität bedeutet, dass der logische Gegenstand, dadurch, dass er gedacht wird, sich in seinen logischen Eigenschaften
ändert. Die denkende Reflexion ist nicht die gedachte Reflexion - und wenn die denkende Reflexion selbst gedacht wird, werden ihre ursprünglich "subjektiven" Eigenschaften in inverse "objektive" verwandelt. Denn qua Reflexionsprozess ist die Reflexion 1) undenkbar! Wird Reflexion 1) gedacht, so wandert ihr Prozesscharakter nach Reflexion 2) ab!!
Wir haben also zwei logisch grundverschiedene Gegenstandstypen des Denkens überhaupt: Gegenstand 1), der dadurch, dass er gedacht wird, keine Veränderung erleidet und Gegenstand 2), bei
dem eine solche Veränderung einkalkuliert werden muss.
Die Frage ist jetzt: Wie lässt sich diese Eigenschaft der Reflexionsidentität kalkülmässig behandeln? Meiner Ansicht nach - aber ich kann mich natürlich irren - tritt die Unterscheidung von Seinsidentiät und Reflexionsidentität im zweiwertigen Kalkül
nur in interpretativer Form auf. Ich meine das so: Wir können für den Aussagenkalkül stipulieren, dass die logischen Motive von "und", "oder", "ist äquivalent" usw. für
Seinsidentität durch diefolgenden Tafeln repräsentiert sind:
Dazu kommt die Negationsfigur dieser Tafel in der Gestalt von
Tafel (I) und (IA) bilden zusammen ein sinnvolles Interpretationssystem für "und", "oder" usw. im Sinne von
Seinsindentität. Diese Interpretation entspricht unserem naiven, unmittelbaren Denken und ist uns vertraut. DA nun aber die klassische Negation ein reines
Umtauschverhältnis darstellt [
3], muss das Interpretationssystem I) ebenfalls in einem Umtauschverhältnis zu einem zweiten Interpretationssystem stehen, das auf "~p" und "~q" aufgebaut ist. In diesem zweiten System haben die logischen Motive von "und", "oder", "äquivalent" usw. dann die folgenden Bedeutungen:
Dann tritt selbstverständlich wieder als Ergänzung die Tafel
II) und IIa) bilden zusammen das Interpretationssystem für Reflexionsidentität auf dem Boden einer zweiwertigen Logik. Bitte vergleichen sie die beiden Bedeutungen von "und" in Tafel I) und in Tafel II). Sie sind genau die gleichen, nur das einmal "und" für das
echte Objekt, das andere Mal für das reflektierte Objekt (Subjekt) definiert wird. D.h. "und" ist im Falle I) nur dann positiv, wenn sowohl "p" wie auch "q" den positiven Wert "1" haben. Das ist der Sinn von Seinsidentität, ausgedrückt durch das logische Motiv "und".
Nun betrachten Sie bitte die Bedeutung von "und" in Tafel II). Jetzt ist "und" nur dann positiv, wenn "p" sowohl wie auch "q" den negativen Wert "2" haben. Da sich aber die beiden Werte "1" und "2" wie die einfache Entgegensetzung von Objekt und Subjekt verhalten, ist in Tafel II) "und" nicht für das bona fide Objekt, sondern für das Subjekt (die Reflexion) definiert.
Aber, wie gesagt, handelt es sich hier nur um zwei - im Umtauschverhältnis miteinander stehende - hermeneutische
Deutungen des zweiwertigen Kalküls. Die Kalkülrechnung wird dadurch nicht berührt.
Jetzt aber taucht die folgende Frage auf: In unserm theoretischen Bewusstsein aber sind beide hermeneutische Strukturen des Denkens miteinander vereinigt. Wir wollen die Thematik der Seinsidentität die "Aristotelik" und Thematik der Reflexionsidentität die "Kontra-Aristotelik" nennen. Gibt es nun ein System, das die "Aristotelik" und die "Kontra-Aristotelik" auch kalkülmassig miteinander verbindet? D.h. ist es möglich eine Logik zu entwickeln, in der seinsthematisches "und" oder "oder" von den korrespondierenden reflexionsthematischen Motiven auch rechnerisch unterschieden werden kann. Meine Antwort ist: ja. Die Aufgabe ist lösbar im dreiwertigen System! Im zweiwertigen System - dargestellt durch die Tafeln I/Ia und II/IIa -
widersprechen sich die Deutungen. "Und" kann nicht zugleich 1222 und 2221 sein! In einem dreiwertigen Kalkül aber ist eine ganz andere Darstellungsweise der Differenz zwischen verschiedenen Bedeutungen von "und" möglich!
Das beiliegende Blatt illustriert sowohl für "und" wie für "oder" was ich meine. Die Buchstaben "K" und "D" am Kopfe der dreiwertigen Tafeln bedeuten "Konjunktion" und "Disjunktion". Die Tafeln zeigen an, dass eine dreiwertige Logik als eine Kombination dreier zweiwertiger Logiken interpretiert werden kann! Die drei zweiwertigen Logiken werden durch die Wertepaare
determiniert. Jedes dieser Wertepaare repräsentiert ein Umtauschverhältnis im Sinn der klassischen, zweiwertigen Logik. Folglich kann für jede Wertepaar jedes klassische logische Motiv gesondert konstruiert werden.
Ich definiere eine dreiwertige Konjunktion nun als eine solche Wertfolge, in der das Umtauschverhältnis 1-3 und mindestens eins der anderen Umtauschverhältnisse konjunktiv ist. [Es ist noch eine losere Definition von Konjunktion möglich, nach der eine dreiwertige Wertfolge konjunktiv ist, wenn zwei beliebige Umtauschverhältnisse konjunktiv sind. Wir wollen das aber hier ignorieren.]
Dementsprechend lautet die Definition einer dreiwertigen Disjunktion: Eine Wertfolge, in der das Verhältnis 1 - 3 und mindestens ein anderes disjunktiv sind.
Das dreiwertige System gibt uns auf diese Weise die Möglichkeit zwischen einem seinsthematischen und einem reflexionsthematischen logischen Motiv zu unterscheiden - und zwar auf dem Boden einer "dritten" Reflexion. D.h. der Gegensatz von Seinsidentität und Reflexionsidentität wird in einer weiteren Reflexion verstanden, die sich weder mit der einen noch der andere Seite identifiziert. Diese übergreifende Reflexion wir im Falle von "und" durch die Funktion "
²1 ", die die Struktur KKK hat, repräsentiert. Reflexionsthematisch wird "und" dann durch "
²2 ", also DKK, ausgedrückt und seinsthematisch durch "
²3 ", KDK.
Auf diese Weise lassen sich reflexive Unterschiede in ein und demselben logischen Motiv feststellen, ohne dass man "und" als 2221 definieren muss, wodurch unweigerlich ein Widerspruch entsteht. Im dreiwertigen System braucht man nur die traditionelle Bedeutung von "und" und "oder" und kann auf das zweiwertige Interpretationssystem II / IIa verzichten.
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Wir erkennen jetzt also an, dass das theoretische Denken zwei Konzeptionen des logischen Gegenstandes besitzt:
a) den Gegenstand der Seinsidentität hat;
b) den Gegenstand der Reflexionsidentität hat.
Die Gegenstände in a) werden vermittels der Operation "...
3" behandelt. Die in b) vermittels "...
2" und die Verbindung der seinsthematischen und der reflexionstheoretischen Logik wird durch eine Logik hergestellt, die sich der Operation "...
1" , also KKK oder DDD bedient. Auf diese Weise ist es möglich, die Idee eines gedachten Gedankens und eines gedachten Dings logisch auseinander zu halten. Die gegenwärtig übliche Unterscheidung zwischen einem Begriff und dem Namen eines Begriffs strebt zwar Ähnliches an, aber erfüllt ihren Zweck höchst unvollkommen, weil alles in das Prokustesbett des zweiwertigen Denkens gepresst wird, aus dem dann nur der Ausweg in unendliche Iteration von Namen von Namen von Namen .... möglich ist.
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Ich habe versucht meinen Gedankengang hier in äußerster Kürze wieder zu geben. Im Text meines Manuskriptes nimmt er mehr als 100 Seiten ein. Ich wiederhole noch einmal: mein Grundgedanke ist, dass sich die Reflexion auf unser (seinsthematisches) Denken nicht mehr zweiwertig adäquat ausdrücken lässt, weil sie den Unterschied von Seinsidentität und Reflexionsidentität nicht mehr kalkülmäßig bewältigen kann.
Für Ihre Reaktion darauf wäre ich äußerst dankbar.
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Brief_7: Gödel-Ausgabe: (Goedel_GG_007.doc)
Princeton, 10./VIII. 1955
Sehr geehrter Herr Dr. Günther:
Ich möchte mich zunächst entschuldigen, dass ich so lange nichts von mir hören ließ. Der Hauptgrund dafür war mein schlechter Gesundheitszustand im letzten Herbst u. Winter, der mich daran hinderte Ihren Brief vom 6. Okt.[
4] zu beantworten. Ich habe mich sehr über Ihre Berufung als Gastprofessor nach Hamburg gefreut u. gratuliere Ihnen herzlich.
Nun zum Inhalt Ihrer beiden letzten Briefe. Ich bemerke zwischen ihnen zunächst den Unterschied, dass Sie im ersten von "zwei Arten von Denkunabhängigkeit" sprechen, im zweiten aber den Gegenständen der Refl. 2.) ausdrücklich die Denkunabhängigkeit absprechen. Das erste scheint mir im Bereich der Möglichkeit zu liegen, das zweite aber unbedingt unrichtig zu sein. Ich glaube auch nicht, dass die mathematische Logik (oder überhaupt die Logik) eine Reflexion auf das
Denken ist, höchstens auch auf das Denken in erster Linie aber auf gewisse im Denken erfasste allgemeinste Gegenstände. Die intuitionistische Logik allerdings ist eine Reflexion auf das Denken u. daher sind ihre Gegenstände nicht denkunabhängig, aber trotzdem werden sie "durch den Denkakt der sich mit ihnen beschäftigt" ebenso wenig geändert wie die Gegenstände der Physik. Damit will ich natürlich durchaus nicht leugnen, dass die Gegenstände der Refl. 2) von denen der Refl. 1) toto genere verschieden sind, ja so sehr verschieden, dass man vielleicht mit Recht von zwei verschiedenen "Existenzformen" sprechen kann. Das ist es ja auch, wenn ich Sie recht verstehe, was Sie in Ihrem Achilles-Aufsatz (für dessen Zusendung ich bestens danke) zum Ausdruck bringen wollen. Dass eine mehrwertige Logik das adäquate Ausdrucksmittel ist, um diesen Unterschied darzustellen, liegt durchaus im Bereich der Möglichkeit. Der Gedanke hat zweifellos etwas Bestechendes an sich, insbesondere mit Rücksicht auf die Paradoxien u. auf die Tatsache, dass ja die Prädikate "notwendig" u. "möglich", die man zur Darstellung begrifflicher Verhältnisse braucht, auch als Wahrheitswerte interpretiert werden können. Ein Beweis für die Richtigkeit dieser Auffassung könnte nur durch eine Axiomatisierung der Logik auf dieser Grundlage u. den Erfolg der aus den Axiomen entwickelten Folgerungen erbracht werden. Dass die Mehrwertigkeit der Logik etwas mit den von mir konstruierten unentscheidbaren Sätzen zu tun haben sollte, ist allerdings kaum möglich. Das könnte eventuell für "absolut" unentscheidbare Sätze der Fall sein. Aber die von mir angegebenen sind ja in einem übergeordneten (ebenfalls richtige Gedanken ausdrückenden) Formalismus immer entscheidbar u. beweisen daher nur, dass kein Formalismus «Siehe separates Blatt!» das ganze abstrakte Denken erfassen kann. An dieser Unzulänglichkeit jedes Formalismus kann auch eine mehrwertige Logik nichts ändern. - Die Art u. Weise, wie Sie den dritten Wahrheitswert einführen wollen, ist mir auf Grund Ihrer Briefe u. des Kongressvortrages leider nicht ganz verständlich. Sie gehen von einem, & u. -vertauschenden, dualen Verhältnis zwischen Ding u. Begriff aus. Nun ist dieser Dualitätsverhältnis [Vereinigung der Merkmale entspricht Durchschnitt der Umfänge] allerdings eine sehr interessante Tatsache, deren tiefere Bedeutung vielleicht noch der Aufklärung harrt, aber ich sehe keinen Zusammenhang zwischen diesem Charakteristikum der Begriffswelt u. ihrer verschiedenen Existenzform. Auch vermisse ich irgend eine Erklärung darüber, was eigentlich Ihre 3
Wahrheitswerte, im Gegensatz zu dem "wahr" u. "falsch" der klassischen Logik, bedeuten. Eine genaue Definition kann man natürlich nicht verlangen, am allerwenigsten im Rahmen der zweiwertigen Logik, aber doch eine Erklärung in demselben Sinn, in dem man auch die Grundbegriffe der zweiwertigen Logik (trotz ihrer Undefinierbarkeit) verständlich machen kann. Eine Analyse des Sinnes Ihrer Wahrheitswerte scheint mir der Kardinalpunkt zu sein, an dem Sie angreifen müssten, um Ihren Lesern verständlich (zu werden) u. den Aufbau einer Ihren Ideen entsprechenden Logik weiter durchzuführen.
d.h. genauer: 1.) Kein Formalismus, von dem wir erkennen können, dass er richtiges (u. nur richtiges) Denken ausdrückt, kann
unser ganzes abstraktes Denken erfassen. 2.) Kein Formalismus, in dem nur objektiv Richtiges ableitbar ist, kann, in seinen ableitbaren Formeln, alle objektiv bestehenden begrifflichen Verhältnisse erfassen.
1 die in diesem Punkt auch heute noch nicht überholt ist.
2 "Gesetzt" ist ein transzendentallogischer Terminus der Fichteschen Wissenschaftslehre.
3Ist nichts weiter als das Schema eines Umtauschverhältnisses!
3 This must be an error, Gödel evidently refers to Günthers´s letter of 2 October 1954.
