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Zur Polykontexturalitätstheorie
1 Zusammenfassende Kritik
Die drei Tendenzen (Fuzzy-Logic, Context-Logic, Extended Calculus of Indications) lassen sich verstehen als erneute Versuche, das Gödelsche Theorem, das als metalogisches Theorem die immanenten Grenzen jeglicher KI-Forschung angibt, zu um-, hinter-, übergehen, ohne dabei direkt an Ergebnisse und Strategien zur Vemeidung von Antinomien in der älteren Logikforschung anzuknüpfen. (s. Kaehr, R., "Neue Tendenzen in der KI-Forschung Metakritische Untersuchungen über den Stellenwert der Logik in der neueren Künstlichen-lntelligenz-Forschung." Stiftung Warentest Berlin u. BMFT 1980,64 S.)
Alle drei Tendenzen sind aufs engste mit der mehrwertigen Logik verbunden. Die context logic ist zwar per se nicht mehrwertig, sie gilt für die 2-wertige wie für die m-wertige, sie erhält jedoch ihre volle Bedeutung erst im Zusammenspiel mit der logic of significance, die nicht nur eine drei-wertige Logik ist, son-dern diese auch eindrücklich zu rehabilitieren versucht. Der ECT ist zwar als indikativer Kalkül der Form noch kein Logikkalkül, arbeitet jedoch mit drei bzw. unendlich vielen Grundformen. Die Logifizierung von ECI liefert einen m-wertigen Logikkalkül à la Kleene mit dem Unterschied, daß die Werte nicht ad hoc eingeführt werden, sondern in ECI generiert werden.
Im nachhinein läßt sich sagen, daß keine wesentlich neuen Ergebnisse erzielt wurden - außer eine Fülle von praktischen Methoden und Applikationen. Es ist daher nich verwunderlich, daß von rein logischer Seite sowohl die fuzzy logic wie auch die mehrwertige Logik in ihren Ansprüchen neue Logiken zu sein, stark kritisiert wurden (Haack, 1974 und Scott, 1976).
2 Kritik der Linearität
Fragt man sich, was der eigentliche Grund für das tendenzielle Scheitern der verschiedenen skizzieren Kalküle ist, so läßt sich folgende Antwort geben.
Allen Kalkülen gemeinsam und von keiner Tendenz hinterfragt sind die allgemeinen semiotischen und im Speziellen arithmetischen Voraussetzungen. Jeder Kalkül ist erst einmal nichts anderes als ein formales System mit einem Zeichenrepertoire und diversen Verknüpfungsregeln und hat zur Grundlage das Induktionsprinzip In: P(0) "n(P(n) ÆP(n+1)) Æ "n P(n). Worten: Wenn eine Eigenschaft P dem Ausgangsobjekt O zukommt und wenn aus der Tatsache, daß sie einen beliebigen Gegenstand n zukommt, folgt, daß sie auch dem Gegenstand n+1 zukommt, so kommt die Eigenschaft P allen Gegen-ständen zu.
Das Induktionsprinzip ist kein logisches, sondern ein spezifisch arithmetisches Prinzip. Es setzt die prinzipielle Linearität und Lückenlosigkeit (Konnexität) der Reihe der natürlichen Zahlen voraus. Mit anderen Worten, es hat zur Voraussetzung die Einzigkeit der Reihe der natürlichen Zahlen (Kategorizität des Peano-Axiomen-Systems). Es gibt nur eine Reihe der natürlichen Zahlen und alles Mathematische und auch alle Kalküle versammeln sich letztlich auf dieser Linie. Die Linearität ist das Grundprinzip aller Formalismen.
Es ist daher kein Zufall, daß Spencer-Brown von seinen Lesern nicht mehr an Voraussetzung verlangt, als eben gerade dieses unhinterfragte Vertrauen in die Reihe der natürlichen Zahlen.
Schon ein Ernstnehmen der Metaphorik Linie" zeigt, daß der Kreis" (die Selbstrückbezüglichkeit) innerhalb des Kalküls der Linearität ein Wunschtraum bleiben muß.
Der Wunschtraum heißt: Eine Linie" wird im Unendlichen" zum Kreis".
Wiederholen wir v. Foersters Explikation der Brownschen und Varelaschen re-entry (Uroboros) - Spekulation: f(X) sei die Form einer algebraischen Formel, dann lassen sich Formeln beliebiger Länge erzeugen: y=f(n) (Xn)."
Für n -> erhalten wir einen rekursiven Ausdruck unendlicher Länge und wegen der Gleichheit von
y = lim f (n-1) (xn-1) = lim f (n) (xn)
erhalten wir y=f(y). also f=[f] und dieser Ausdruck wird von Varela mit dem Symbol für re-entry, selfreference, autonomy []" bezeichnet". (v. Foerster, 1975.)
Unter der Voraussetzung der Abstraktion der potentiellen und der absoluten Realisierbarkeit (Petrov, 1971) läßt sich diese Konstruktion wohl denken, sie läßt sich jedoch nicht operativ und faktisch realisieren. Die Aufgabe der KI-Forschung ist jedoch die faktische Realisation und nicht die abstrakte Spekulation. Die einzige Tendenz in der mathematischen Grundlagenforschung, die sich wagt die unbeschränkte Gültigkeit der Abstraktion der potentiellen Realisierbarkeit zu hinterfragen, ist der Ultra-Intuitionismus. Von philosophischer Seite ist es die auch mathematisch radikalere Polykontexturalitätstheorie Gotthard Günthers. Beide Theorien sind noch wenig erforscht und haben Anlaß zu absurden Mißverständnissen gegeben. Die unkritische Übernahme des Prinzips der potentiellen Realisierbarkeit aus der Mathematik in die KI-Forschung bringt diese in Widerspruch zu ihrem Prinzip der Machbarkeit. Machbar ist danach nur das, was finit und eindeutig formulierbar ist (McCulloch und Pitts (1965)).
Der Ultra-Intuitionismus ist nun in der Lage zu zeigen, daß nicht einmal die natürlichen Zahlen finit und eindeutig definierbar sind. Die natürlichen Zahlen und ihre Arithmetik sind jedoch der Prototyp einer konstruktiven, d.h. machbaren Theorie. Die Einführung der natürlichen Zahlen unter dem Postulat der Einzigkeit der Reihe der natürlichen Zahlen führt zu einem Zirkel: die einzuführenden Zahlen werden bei der Einführung als schon existent und disponibel vorausgesetzt. Die klass. Logik verbietet jedoch Zirkelschlüsse.
D.h. eine Zahl Zn wird definiert als die n-fache Anwendung der Nachfolgeoperation X auf die Anfangszahl (Null) Y, also
Xn Y = X(X(...(XY)...)) für n>0
Die Zahl 1012 wird danach definiert durch die 1012-fache Anwendung der Nachfolge
operation auf die Anfangszahl: Z1012 = X1012 Y = X(X(...(XY)...)
Woher weiß man, daß 1012 eine Zahl ist? Offensichtlich muß schon vor der Konstruktion der Zahl 1012 bekannt sein, daß sie eine in der Reihe der natürlichen Zahlen vorkommende Zahl ist, sonst ließe sie sich ja nicht als Schrittzahl benutzen. Würde sie in der Zahlenreihe nicht vorkommen, würde sie durch die Schrittzahl gerade konstruiert und würde somit im Widerspruch zur Annahme doch vorkommen. Kommt sie jedoch vor, so entsteht ein Zirkel, da sie, will man sie konstruieren, sich selbst als Schrittzahl voraussetzt.
Dieser Zirkularität entgeht man nur dann, wenn die traditionelle Annahme der Eindeutigkeit der Reihe der natürlichen Zahlen aufgegeben wird und eine Vielzahl von Zahlenreihen und eine Vielzahl von korrespondierenden Logiksystemen zugelassen wird. (Yessenin-Volpin, 1970 und Günther, 1979)
Die aufgewiesene prinzipielle Zirkularität mag in der Reichweite der endlichen, konkret erzeugbaren Zahlen nicht ins Gewicht fallen, da die Existenz der jeweiligen Schrittzahl gesichert ist. In der KI-Forschung sind jedoch kleine Zahlen uninteressant, selbst astronomische Zahlen erscheinen bei der Modellierung kognitiver Funktionen als recht klein.
Große Zahlen werden leicht durch die Potenzfunktion erzeugt: e(m,n) = mn.
Die Potenzfunktion läßt Zahlkonstruktionen zu, die durch Addition und Multiplikation allein nicht möglich sind, so etwa die Bernayszahl 67 (257 729). Jede Komponente dieser Zahl ist faktisch realisierbar. Bei dem Versuch die faktische Realisierbarkeit der Bernayszahl zu beweisen, entsteht der bekannte Zirkel, daß diese als Schrittzahl der Induktion vorausgesetzt werden muß.
Parikh hat nun in einer wichtigen Arbeit (Parikh p.26) beweisen können, daß die Potenzfunktion e (m,n) = mn nicht faktisch realisierbar ist. D.h. daß die Zahl mn faktisch realisierbar sein kann, z.B. 102, daß jedoch aus zwei Zahlen m, n die faktisch realisierbar sind, die Potenzfunktion e (m, n) nicht faktisch realisiert werden kann: die arithmetische Formel "(x) "(y) $(z) (xy= z) ist nicht faktisch realisierbar.
Das KI-Prinzip der faktischen Machbarkeit (McCulloch-Pitts) trifft also nicht einmal für das elementarste Instrumentarium der KI-Forschung selbst zu. Die Bindung der Machbarkeit an die Eindeutigkeit ist also nicht haltbar. Eindeutigkeit heißt logisch (Zweiwertigkeit und) Hierarchie. Es ist bis heute von der KI-Forschung übersehen worden, daß McCulloch schon 1945 sich gezwungen sah, das Hierarchieprinzip zu ergänzen. Heterarchien erzeugen zirkuläre Relationen und verstoßen damit gegen ein Hauptgesetz der Logik, nämlich gegen die Transitivität. Statt a b, b c. . a c entsteht a b, b c. . c a.Nach McCulloch entstehen Intransitivitäten aufgrund irreduzibler Komplexität. Weiter Argumente dazu, siehe (Kaehr, Das Meßproblem... §2, 1980).
Das Problem des potentiellen und des aktuellen Unendlichen - von einer Kritik des Aktual-Unendlichen sehen wir ab, da es schon vom Konstruktivismus (etwa Lorenzen) kritisiert wird - taucht in allen von uns skizzierten Kalkülen auf:
a) Für die Konstruktion einer einzelnen Form für Selbstreferentialität in ECI, nämlich []" ist das Aufgebot unendlich vieler re-entry-Schritte nötig. Nämlich 1) das Potentiell-Unendliche als Schrittzahl der re-entry und 2) das Aktual-Unendliche als finite Form in dem die potentielle Unendlichkeit der Schrittzahl aufgehoben ist.
b) Für die Vermeidung einer antinomischen Situation mit Hilfe der mehrwertigen Logik sind unendlich viele Werte erforderlich.
c) Die Context Logic stoppt den unendlichen Regreß durch einen Universalkontext, der selber von unbegrenzter Extension ist.
d) Die dialogische Logik vollzieht den Übergang von den materialen zu den formalen Dialogen durch eine Einsicht", womit sie sich als intuitionistische Logik auszeichnet. (Lorenzen, p.2, 1978)
3 Solipsismus-Kritik
Betrachten wir die oben skizzierten Logik- und Kalkülkonzeptionen, so fällt auf, daß sie alle eine solipsisitische Grundlage haben.
Ein Subjekt, ein Observer usw. vollzieht - etwa im CI oder ECI - eine Distinktion in einem Distinktionsbereich, macht eine Aussage im Aussagenkalkül usw. Das Subjekt dieser Tätigkeiten bleibt jedoch außerhalb des Kalküls, der Kalkül erscheint als subjekt- bzw. standpunktunabhängig. D.h. jedoch, daß alle konkreten Subjekte, die einen konkreten Kalkül benutzen, sich diesem einen und einzigen Subjekt (des Kalküls), dem Subjekt überhaupt, einem Über-Ich, unter-ordnen müssen. Die klassischen Kalküle haben eine transzendente Subjektivitätskonzeption zu ihrer Voraussetzung. Solange die Logik nur die Aufgabe hat, die allgemeinen Gesetze der objektiven, d.h. von jeder Subjektivität befreiten Welt, zu beschreiben, ist diese Konzeption optimal. Sie entspricht dem klassischen Paradigma: The properties of the observer shall not enter into the description". (Howe u. Foerster, 1975)
Die KI-Forschung hat jedoch die Aufgabe gerade Subjektivität zu modellieren. Sie soll also Subjektivität in technischen Modellen simulieren, ohne sie dadurch zu verdinglichen. Sie steht also vor dem Paradox Subjektivität zu objektivieren. Das gelingt ihr aber nur dann, wenn ihre Kalküle Subjektivität nicht ausschließen, sondern einschließen. Eine eingeschlossene, in einem Kalkül, d.h. auch in die Welt eingeschlossene Subjektivität, ist im Gegensatz zur transzendenten eine immanente Subjektivität. (Günther).
4 Immanenz der Subjektivität
Gotthard Günther hat diese Konzeption einer immanenten Subjektivität und ihre Folgen für die Kalkültheorie ausführlich entwickelt. In dieser Hinsicht erscheinen die poststrukturalistischen Sprechweisen einer Dezentrierung des Subjekts als späte und recht zögerliche Strategien der Dekonstruktion der transzendentalen Subjektivität, die jeden Bezug zur Hinterfragung von formalsprachlichen Konstruktionen meiden..
Ist aber die Autonomie der Ich-Subjektivität gegenüber der Du-Subjektivität nicht in einem absoluten Subjekt aufhebbar (...), dann wird der Gegensatz von Ich und Du für die formale Logik relevant." Jedes Einzelsubjekt begreift die Welt mit derselben Logik, aber es begreift sie von einer anderen Stelle im Sein." (Günther, Bd. III, 87)
Das Verhältnis der verschiedenen Thematiken und ihre Vermittlung ist nun logisch so geregelt, daß wir ein und dieselbe zweiwertige Logik auf verschiedene Bewußtseinstufen anwenden können ... eine mehrwertige Logik beschreibt ein solches Abhängigkeitssystem der möglichen Stellenwerte, die die klassische Logik in dem Reflexionssystem unseres Bewußtseins einnehmen kann."
Die Irreduzibilität von Ich und Du ist eine Einsicht, zu der man erst dann gelangt, wenn man begreift, daß Ich und Du eine Umtauschrelation innerhalb der Subjektivität darstellen", und daß das Ich nicht über den Gegensatz übergreift und ihn versöhnt.
Eine Logik ist die metaphyische Selbstdefinition eines Subjekts." Günther
Die Stellenwerttheorie gibt nun an, wie die eine Logik von verschiedenen Einzelsubjekten angewandt wird und wie das Zusammenspiel von Gleichheit (der Logik) und Verschiedenheit (des Standpunktes) formal vor sich geht.
Die Günthersche Stellenwertlogik ist ursprünglich aus einer Kritik an der mehrwertigen Logik entstanden. Statt, wie in der klassischen mehrwertigen Logik die neuen Werte als Zwischenwerte, Werte etwa zwischen 0" und 1", also zwischen wahr" und falsch", zu deuten, hat Günther sie als Stellen-Werte, die den Ort eines Wertpaares, d.h. einer Logik, angeben, interpretiert. Diese Günther-Logik wurde in (Kaehr, 1978) mit Hilfe der Tableau-Methode ausführlich dargestellt.
5 Die ErweiterungsStrategie
a) Alle bisherigen Erweiterungsversuche haben irgendwelche Änderungen innerhalb des jeweils vorgegebenen Kalküls unternommen (Parametrisierung der Wahr-Falsch-Dualität für die mehrwertige Logik, der Satzvariablen für Kontextlogik usw.). Diese Parametrisierungen werden konservative Erweiterungen genannt, weil sie die ursprüngliche Konzeption der Form bewahren. Sie erzeugen (notwendige) Liberalisierungen der Kalküle, die oft mit einer besseren Anpassung an ökonomische Erfordernisse einhergehen.
b) Eine Erweiterung von Außen scheint unsinnig zu sein, da das Außen entweder selber wieder ein Kalkül wäre, oder aber von ganz anderer Art und daher nicht nachvollziehbar. Es bleibt also nur noch die Möglichkeit die eine Logik bzw. den einen Kalkül sowohl als Außen wie auch als Innen, als transzendent wie auch als immanent, zu interpretieren und zu gebrauchen. Kurz gesagt: Wir vermehren, distribuieren den einen Kalkül und verketten, vermitteln die einzelnen Kalküle miteinander. Ohne daß intern am Kalkül etwas verändert wird, wird seine Hegemonie gebrochen, er wird vermaßt. Die Einheit wird zur Vielheit. Diese Vielheit, die erst rein numerischer Art ist, wird durch die Vermittlung der Kalküle strukturiert. Die Vielheit zerfällt nicht in ihre isolierten Elemente, sondern wird ein strukturiertes Ganzes, eine System-Ganzheit.
6 Skizze einer PKL mit Tableauregeln für Transjunktion
Aus einer Arbeit zur Implmentierung der PKL von 1992 zitiere ich die Grundidee der Tableaux-Regeln mit Transjunktion. Sie bilden die Basis für die Implementierung eines Tableaux-Beweisers. Dieser ist funktionsfähig implementiert in ML (MetaLanguage) und läuft auf einer NeXT-Maschine. Es soll die Idee der Transjunktion in ihrer Operativität verdeutlicht werden.
Entsprechendes müßte von allen wesentlichen Grundbegriffen, die in diesem Report benutzt wurden, geleistet werden. Denn nur dadurch läßt sich eine sprachbedingte Ontologisierung der Begriffskonstruktionen erfolgreich vermeiden. Die Tableaux-Regeln der Transjunktion stehen hier als eine einleitende formale Explikation für Begriffe wie Parallelität, Zugleich sein, Spaltung, Sprung, Interaktion.
Die Tableaux-Regeln geben an welche Art der Expansion einer signierten Formel auszuführen ist. Im klassischen Fall gibt es für jeden Junktor zwei Regeln, d.h. für jeden Wahrheitswert eine. Für eine drei-kontexturale Logik gibt es drei miteinander vermitelte Regelpaare.
6.1 Tableauxregeln für zweiwertige Junktoren
Wir betrachten die Regeln fuer 'and' und 'or' und die Negation ´not'
Man liest die obigen Tableaus fuer T folgendermassen. Die Formel "X and Y"
nimmt genau dann den Wert T an, wenn sowohl die Teilformel X als auch die
Teilformel Y den Wert T annehmen.
Das Untereinanderschreiben hat bezeichnet das konjunktive Verhaeltnis
zweier Teilformeln X und Y zueinander, ads Nebeneinander das disjunktive
Verhaeltnis. Nebeneinander und untereinanderschreiben korrespondieren also
direkt zu || und && Konstruktoren.
Die Regeln finden nun die folgenden Anwendung innerhalb eines
6.2 Übergang zur PKL
Die Tableaus der PKL sehen komplexer aus, und enthalten neben
Alpha und Beta Beziehungen, die hier auch gemischt innerhalb der Regeln
vorkommen, auch transjunktive Beziehungen, d.h. das es fuer eine Anfrage
fuer einen Wert aus einem System es auch Belegungsmoeglichkeiten aus anderen
Bei einem n-stelligen System kann es hier natuerlich bis zu n-1 transjunktive
Definition: Als transjunktiven Anteile werden alle Wertangebote eines
Tableaus bezeichnet, die nicht aus dem gleichen System stammen
Die transjunktiven Anteile werden im Tableau durch einen Dreifachstrich
getrennt.In folgenden werde ich transj. Anteile auch haeufiger mit
Hier nun ein Beispiel fuer die Transjunktion ttt mit dem Tableau fuer T1.
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T1 X | F1 X /// T2 X | F2 X , T3 X | F3 X
T1 Y | F1 Y /// T2 Y | F2 Y T3 Y | F3 Y
Die erste Alpha-Beta Komponente (1) bezeichne ich den "lokalen Anteil",
da er im selben System bleibt, (2) und (3) sind die transjunktiven Anteile.
Wir fuehren hier eine explizite Darstellung fuer T-Anteile in Beweisbauemen, sowie
einen erweiterten Regelsatz ein.
6.2.1 Beispiel fuer einen Ausdruck mit Transjunktion
(aaa ist hier die dreistellige Konjunktion und ooo die dreistellige Disjunktion )
Teilformeln werden von nun in der Art expandiert indem sie an Ort und
Stelle durch ihre regelbestimmte Alpha-Beta Struktur ersetzt werden.
(!) ist die Anwendung der Tableauregel fuer (*).
Durch die verschachtelte Alpha-Beta Struktur muessen fuer ttt mehrere
Expansionsschritte gleichzeitig vorgenommen werden. Der Uebesichtlichkeit
halber wird jedes weitere Vorkommen des Disjunktiven Teilbaumes (DTB) mit
Die transjunktiven Anteile vermerke ich an dem Knoten der Regelanwendung.
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Hier wird deutlich, daß die Transjunktion eine Distribution von Bäumen generiert und damit eine logische Explikation von Parallelität und des Zugleichgeltens leistet.
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