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Towards a General Model of Polycontextural Computation
Die klassische Konzeption des Berechenbaren und Machinalen wie sie in grosser Allgemeinheit von Leonid Levin skizziert wurde, setzt offensichtlich zwei fundamentale Kategorien voraus: Raum und Zeit. Beide sind jedoch in einem genuin semiotischen bzw. machinalen Sinne (Länge einer Berechnung, Grösse der Konfiguration) verstanden und nur indirekt, etwa bei Komplexitätsüberlegungen, verbunden mit dem Raum- und Zeitbegriff der Philosophie und der Physik. Ein transklassischer Entwurf des Machinalen hat somit gar keine andere Wahl als sich jenseits von Raum und Zeit zu definieren will er seine Eigenständigkeit realisieren. In diesem Sinne ist das kenomische Modell des Berechenbaren elementarer, wenn auch vielleicht nicht gerade einfacher (zu verstehen).
In den vorangehenden Kapiteln wurde gezeigt, dass sich die kenogrammatische Äquivalenz unabhängig von der semiotischen Äquivalenz Einführen lässt. Die allgemeinste Definition von Raum und Zeit liefert die Semiotik. Aufgrund des Identitätsprinzips ihrer Zeichen gilt, dass zwei Zeichen nicht zugleich den selben Ort (Kästchen) einnehmen können. Zwei Zeichen sind entweder identisch oder divers. Damit diese Unterscheidung funktioniert, müssen Zeichen separierbar sein. Sie müssen unterschiedliche Orte einnehmen können. Identifizierbarkeit und Separierbarkeit haben einen semiotischen Raum zur Voraussetzung. Eine Überdetermination von Zeichen(vorkommnissen), wie etwa in der Konkreten Poesie, ist ausgeschlossen. Zeichen erscheinen nacheinander, nicht übereinander. Sie sind durch die Verknüpfungsoperation miteinander verbunden, d.h. aneinander gereiht. Diese Reihung, Zeichenreihengestalt, bestimmt ihre Temporalität. Der Zeichenfluss ist in der Zeit. Zeichen setzen Raum und Zeit voraus. Sie zeitigen und raumen nicht. Diese Argumentation gilt sowohl für die konstruktivistischen wie für die platonistische Auffassung der Semiotik. Wobei die Platonisten auf den Raum der semiotischen Relationalität setzen und die Zeitlichkeit ihrer Axiomatiken verdrängen, dagegen setzen die Konstruktivisten auf die Zeitstruktur ihrer semiotischen Operationen und verdrängen die Räumlichkeit ihrer Konstruktionen.
Kenomische Übergänge dagegen eröffnen Räume, sind Raum einräumend und Zeiten eröffnend. Kenogramme ermöglichen semiotische Überdeterminationen, Mehrzeitigkeit, Multiversen, Polyrythmie.
Polycontextural Computing versteht sich als eine (arithmetische bzw. semiotische) Interpretation der kenomischen Idee des Berechenbaren wie sie in der Kenogrammatik skizziert ist. Die Kenogramme sind die Inskriptionen der logisch-ontologischen Orte (des Denkens), die polykontexturalen Modelle des Berechenbaren sind formale Interpretationen der Kenogrammatik. Das klassische Modell des Berechenbaren ist zu verstehen als ein mono-kontexturales Paradigma verbunden mit Spekulationen seines Aussen, external functions", etwa im Sinne einer Einbeziehung der Orakel, jedoch nicht positiv als Umgebung, Einbettung und Nebenordnung. Jeder Ort, notiert als Kenogramm, verortet Poly-Events, eine Vielheit von Ereignissen, je nach der Komplexität ihrer Entstehung. Insofern versammelt jeder Ort, modelliert durch einen kenogrammatischen Graphen" eine Vielheit von differenten locations, poly-locations. Jede einzelne dieser locations hat intra-kontextural eine Topologie im klassischen Sinne, allerdings ergänzt durch transjunktionale Operationen, die Übergänge zu locations aus anderen Systemen definieren.
Es ist vorerst ausreichend mit homogenen Poly-Systemen zu arbeiten und diese auf zweielementige Wortarithmetiken zu beschränken, um die Idee des TransComputing als eines Gewebes rechnender Räume zu explizieren. Homogene Poly-Systeme postulieren einen strengen Parallelismus der Begriffsbildung zwischen den einzelnen Systemen. D.h., auf jeder Ebene der Architektonik der Systeme gilt eine Parallelität in dem Sinne, dass die Begriffe kategorial miteinander übereinstimmen. So entspricht etwa einer Nachfolgeroperation in einem System eine Nachfolgeroperation im benachbarten System. Homogene Poly-Systeme sind weitgehend isomorph bzgl. ihrer Definition und ihres Aufbaus.
Heterogene Poly-Systeme lassen eine vielfältige Verwebung von Begrifflichkeiten verschiedener Systeme zu, die nur schwach von Vermittlungsbedingungen eingeschränkt zu denken ist. So lassen sich etwa arithmetische mit logischen Systeme verschiedenster Definition, ob nun klassisch oder konstruktivistisch, usw. miteinander verschränken.
Mithilfe der technisch sehr einfachen Binärsysteme lässt sich die Intuition einer Distribution und Vermittlung von binären Zahlsystemen, fundiert in der Kenogrammatik der Trito-Stufe, plausibel machen.
In einem ersten Schritt müssen die Grundbegrifflichkeiten des klassischen Computings über die Kontexturen verteilt werden.
Im Beispiel handelt es sich hier um drei Kontexturen, eingeführt als drei arithmetische Binärsysteme. Durch die Vermittlung dreier Binärsysteme, abgebildet und fundiert in der Kenogrammatik, lässt sich einsichtig machen, wie später eine Distribution von 3-synchronen, 3-sequentiellen, 3-zeitigen, 3-Events in 3-Computations an 3-locations zu denken und zu realisieren ist. Die Operationen dieser 3-kontexturalen Struktur sind kenogrammatisch als Iterationen eingeführt, würden Akkretionen zugelassen, würde die Komplexität des Systems entsprechend wachsen können.
Ein weiterer Schritt nach der Einführung der drei-kontexturalen Nebenläufigkeit", besteht im Aufweis der transkontexturalen Übergänge zwischen den Kontexturen der jeweiligen Berechenbarkeit, geleitet logisch-strukturell von transjunktionalen Operatoren. Damit wird der Metapher der Verwobenheit, gegenseitigen Durchdringung und des Gewebes entsprochen. Im Unterschied zu einem Netz, dessen Fäden zusammenhängend sind, besteht ein Gewebe aus einer Vielzahl von abbrechenden Fäden verschiedenster Art, deren Zusammenhang zu einem Ganzen einzig durch das Zusammenspiel von lokal/globaler Begrifflichkeiten geregelt ist. Des weiteren ist die Sprechweise der Dissemination bzw. der Vervielfachung der Anfänge, hier der roots", aufzuzeigen. D.h. Binärsysteme sind in der Kenogrammatik über verschiedene Anfänge distribuiert. Es gibt keinen ausgezeichneten Anfang für ein jeweiliges Binärsystem. Insofern ist eine Dekomposition des Gesamtgewebes in Binärsysteme nicht trivial. An jedem Ort ausserhalb eines jeweiligen Binärsystems kann ein Anfang für ein fremdes", d.h. ein radikal anderes" Binärsystem gefunden werden.
In trans-computationalen Systemen gibt es eine Vielheit von gleichen und selbigen Systemen, die Übergänge verschiedenster Ursprünge realisieren und die in verschiedenen Emanationen eingebettet sind.
In einem klassischen binären System gehört jeder binäre Teilgraph als Teil zum System. M.a.W., ein Teilsystem lässt sich nicht von anderen Teilsystemen absondern oder isolieren. Deswegen nicht, weil es letztlich einen mit anderen Teilsystemen gemeinsamen Anfang hat. Diese Aussage bezieht sich auf die prinzipielle mathematische Struktur der Bäume und besagt, dass Teilbäume keine eigene prinzipielle Bedeutung haben, sondern als Teilgraphen dem Gesamtgraphen konzeptionell zugeordnet sind.
Genau diese Eigenschaft, dass es formal nur einen Binärbaum gibt, ermöglicht andererseits seine Dekomposition in Teilgraphen. Und umgekehrt die Komposition der Teilgraphen zum Gesamtgraphen. Diese Symmetrie von Komposition und Dekomposition ist die Bedingung der Möglichkeit der Modularisierung. Modularität ist nur möglich in Systemen, deren Komposition und Dekomposition symmetrisch ist.
In polykontexturalen Systemen gibt es eine Vielheit selbiger und gleicher, doch nicht identischer Teilsysteme, die sich nicht unter einen gemeinsamen binären Anfang subsumieren lassen. Polykontexturale Systeme sind nicht nur durch das Zugleichbestehen, d.h. der Vermittlung von Kontexturen bestimmt, sondern auch durch die Operatoren der transkontexturalen Übergänge, der Transjunktionen und der Bifurkationen" verschiedenster Komplexität.
Der historische Ursprung dieses Blattes liegt darin, eine Distribution arithmetischer Systeme auch für die Trito-Struktur der Kenogrammatik vorzunehmen. Eine Explikation des Beispiel-Blattes soll daher vorerst einzig zeigen, dass eine Belegung von Kenogrammen durch Zahlen, Natural Numbers in Transclassic Systems" Günther 1969, eine Deutung dieser als Vermittlungssysteme auch für die Trito-Struktur der Kenogrammatik erlaubt. Bisdahin gelang dies nur für die Proto- und Deutero-Struktur der Kenogrammatik.
Desweiteren wird anhand des Beispiel-Blattes jedoch zusätzlich zum Aufweis des heterarchischen Charakters auch der Trito-Zahlen, eine Reihe von grundlegenden Begriffen einer transklassischen Arithmetik exemplarisch eingeführt.
Die Zahlen lassen sich als Elemente verschiedener Binärsystemen interpretieren. Eine einzelne Zahl bzw. Ziffer vereinigt in sich verschiedene zueinander diskontexturale Systeme an einem Ort, markiert als Kenogramm. Damit ist gezeigt, dass ein Ort Ortschaft für eine Vielheit von Ereignissen" sein kann. Kenogramme ermöglichen fundamentale Überdetermination. Ein Ort fundiert damit die polykontexturale Kategorie der poly-Events. Als Konsequenz daraus wird gezeigt, dass, entgegen der Suggestion, der Graph zyklische bzw. kommutative Eigenschaften hat. M.a.W., der Weg hin muss nicht der Weg her" sein. Die Inversion von Funktionen muss nicht identitiv definiert werden.
Bekanntlich hat Gotthard Günther zu dieser Thematik der Heterarchie, Zyklizität, Distribuiertheit von Begriffspyramiden, hier: Binärsysteme genannt, seit seinen Numbers in Transclassisc Systems" in immer neuen Ansätzen interessante und bahnbrechende Ideen entwickelt. Alle diese fragmentarischen Entwürfe basieren weitgehend auf einer Interpretation der Proto-Struktur der Kenogrammatik. Die arithmetischen Gesetze der Proto-Struktur sind kommutativ, distributiv und assoziativ. Ihre Gesetze sind schon früh von Dieter Schadach (1966/67) formuliert worden.
Im Gegensatz zur Trito-Struktur, ist der Graph der Proto-Struktur ganz offensichtlich kommutativ. Es ist suggestiv, diesen kommutativen Graphen für dialektische bzw. polykontexturale Überlegungen zu benutzen.
Einmal ist die Proto-Struktur im Gegensatz zur Platonischen Pyramide nicht hierarchisch. Dies eröffnet eine Vielfalt von Interpretationen. Des weiteren, und dies ist schon nicht mehr trivial, lassen sich Platonische Begriffspyramiden über der Proto-Struktur verteilen. Womit eine interessante Konstruktion für Parallelverläufe, Überlagerungen, Separiertheiten von Begriffssystemen ermöglicht wird. Dies kann eine Anschlussmöglichkeit für die Entwicklung einer polykontexturalen Diagrammatik (Sowa, Wille) betrachtet werden.
Schon auf der Ebene der Proto-Struktur, lassen sich Sprechweisen, wie Vielheiten der Anfänge", Erspringung neuer Anfänge" im Sinne eines Entwurfs bzw. einer Generierung neuer Begriffssysteme, Sprünge zwischen inkommensurablen Begriffssystemen" usw. einführen und sind, wie etwa die Idee des transkontexturalen Übergangs", von Günther konzipiert worden.
Dass sich solche Konstruktionen auch für die Deutero-Struktur der Kenogrammatik vollziehen lassen, ist offensichtlich und bedarf bloss einiger Konstruktionsarbeit. Beide, die Proto- wie die Deutero-Struktur suggerieren durch ihren Graphen die Kommutativität als Basis dieser kybernetischen, d.h. computerwissenschaftlichen und philosophischen Überlegungen.
Anders ist die Situation bei dem Graphen der Trito-Struktur der Kenogrammatik. Eine Verteilung von Binärsystemen über einen hierarchisch strukturierten zyklenfreien Graphen, d.h. über einen Baum, bestehend aus einer einzigen Wurzel (root) und seinen eindeutigen Zweigen und Knoten (nodes), mit dem Ziel Heterarchien und Kommutativitäten zu generieren, scheint schon weit weniger suggestiv zu sein. Nicht ganz zufällig ist eine solche Konstruktion weder von Günther noch von anderen versucht worden.
Das erste Ziel der Konstruktion von Blatt-3 war es, die Lücke zwischen der Interpretation der Proto- und der Tritostruktur zu schliessen. Das Blatt stammt wohl aus dem Jahre 1992.#######
Es wird ein Wechselspiel von partiellen und totalen Funktionen inszeniert. Hier geschieht dies rein exemplarisch, ohne den entsprechenden mathematischen Apparat. Es handelt sich um die Konstruktion der Zerlegung (Dekomposition) von totalen Funktionen in partielle und invers die Verknüpfung (Vermittlung) von partiellen Funktionen zu totalen. Dieser Mechanismus ist, mathematisch betrachtet, nicht so einfach wie es im Beispiel den Anschein hat.
Die semiotische Voraussetzung dieses Mechanismus der Zerlegung und Verknüpfung liegt in der kenogrammatischen Möglichkeit der Überdetermination der arithmetischen Interpretation der Kenogramme. M.a.W., die Möglichkeit der poly-Events kenogrammatischer Orte, eröffnet eine polykontexturale Interpretation arithmetisch-semiotischer Ereignisse im Wechselspiel von totalen und partiellen Funktionen.
Die Zerlegung einer totalen Funktion ist eine Deutung dieser. Deutungen sind Interaktionen. Die Ambiguität von Ereignislosen ist ein Resultat verschiedener Interaktionen. Je nach der Interaktion lassen sich Keno-Zahlen in verschiedene Teile zerlegen, dies jedoch nicht willkürlich, sondern in Kooperation mit der zu zerlegenden Ereignisfolge.
I. Genese: Konstruktion, Graph (Baum),...der Trito-Zahl bzw. PK-Zahl
Sukzession, Sprung, Vermittlung
II. PK-Zahl, arithmetischer Wert der PK-Zahl
- Simultaneität der verschiedenen Subsystem Zahlenwerte
Wie? Wert (011*****100)=(0111100)?
a) intra-kontexturaler simultaner Ablauf
b) trans-kontexturaler sukzessiver Ablauf je Zahl
- Beginn, Anfang der Zahl bestimmt die Subsystemzugehörigkeit bzw. Subsystemzugehörigkeit je Zahl bestimmt Zahl=Entwicklung der Zahl geht dann nach a) intra- oder b) trans-
- Zahläquivalenz, Iso zwischen Si, Sj: Beispiel: (01011)=T (12122)
- Selbstapplikation a) intra Si ---Si; b) trans: Si---Sj bzgl.
gleich" selbig" (erzeugt keinen Widerspruch)Die als Trito-Zahl notierte Ereignisfolge TZ im Gewebe dreier Binärsysteme S1, S2 und S3 mit den 3 Elementen {0, 1, 2}. Je 2 Elemente definieren ein Binärsystem.
lässt mindestens zwei Deutungen zu:
a) 011/12/202/211/100/02 mit der Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
b) 011/112/202/211/1100/002 mit Systemfolge: S1S2S3S2S1S3
Hier ist zwar die Subsystemfolge der beiden Auflösungen die gleiche, die Auflösungen selbst sind jedoch verschieden in ihrer jeweiligen Länge.
Die Trito-Zahl TZ= (0112000211002)
lässt Deutungen zu, die sowohl die Subsystemfolge als auch die Länge der Subsystemfolgen betreffen.
01/12/20/000/02/211/100/02 mit S1S2S3S1S3S2S1S3, l=8
01/12/200002/211/100/02 mit S1S2S3S2S1S3, l=6
Damit ist der Knoten, den die ungedeutete Zahl, auf dem Graphen der Tritogramme einnimmt, zumindest doppeldeutig. Dies besagt, dass diese Trito-Zahl zwei verschiedenen Zahlensystemen angehört bzw. zwei verschiedene Zahlensysteme prinzipiell durch diese fundiert werden können. Dadurch ist nun die Möglichkeit eröffnet, dass der Weg hin nicht identisch dem Weg her sein muss. Es lassen sich verschiedene Wege finden und damit auch zyklische Wege bzw. kommutative Wege konstruieren. Diese Zyklizität ist nicht durch einfache Selbstbezüglichkeit definiert, sondern entsteht durch eine Folge von Systemwechseln, die chiastisch fundiert sind und befindet sich damit ausserhalb des Bereichs monokontextural generierter Antinomien.
Die Einschränkung der Computations auf azyklische Ereignisfolgen im Sinne des klassischen Modells ist hiermit aufgehoben. Diese gilt nach wie vor intra-kontextural für jedes einzelne Computational System isoliert bzw. lokal betrachtet, jedoch nicht mehr für das Gesamtsystem, global betrachtet, verstanden als Vermittlung (Gewebe) verschiedener klassischer Systeme der Berechnung.
Kann es Lücken, Risse, Amnesien in formalen Systemen oder gar in der grundsätzlichen Konzeption der Natürlichen Zahlen geben? Was soll mit den Lücken eines Zahlsystems geschehen? Wie können diese gezählt werden? Mit welchem Konzept und System des Arithmetischen?
Wie wird die Kardinalität bzw. Ordinalität einer Zahl bestehend aus Teilzahlen und Lücken bestimmt? Muss zum Leerzeichen der Semiotik, oder der Null des arithmetischen Positionalitätssystem ein neues "Nicht-Zeichen" hinzugenommen werden, das weder Zeichen noch Leerzeichen ist? Sondern eben Lückenzeichen"? Welche philosophische und meta-mathematische Bedeutung haben Lücken? Die Relevanz der Frage zeigt sich in der kontrastiven Spiegelung durch Günthers Statement aus Cybernetic Ontology (1962).
"The law which we applied was the principle of numerical induction; and although nobody has ever counted up to 101000, or ever will, we know perfectly well that it would be the height of absurdity to assume that our law will stop being valid at the quoted number and start working again at 1010000.
We know this with absolute certainity because we are aware of the fact that the principle of induction is nothing but an expression of the reflective procedure our consciousness employs in order to become aware of a sequence of numbers. The breaking down of the law even for one single number out of the infinity would mean there is no numerical consciousness at all!" Gotthard Gunther, Cybernetic Ontology, p. 360
Diese Aussage wird wohl auch heute noch von der Mehrheit der Matematiker geteilt. Auch dann, wenn sie die Ankopplung an eine Reflexionstheorie nicht teilen bzw. nicht mitreflektieren. Die wenigen Ausnahmen sind die Ultra-Intuitionisten und - Günther selbst. Leider hat er die Reflexionen der Konsequenzen seines Ansatzes einer polykontexturalen Arithmetik für das Induktionsprinzip nicht publiziert.
Hirnrisse. Wer braucht die Einheit eines Bewusstseins als enheitsstiftende Funktion der Rationalität? Wer hat Angst vor Sprüngen?
Das Basisalphabet bzw. die Signatur einer polykontexturalen Arithmetik besteht somit aus drei sehr verschiedenen Kategorien von Zeichen bzw. Marken: Zahlzeichen, Leerzeichen und Lückenzeichen je Kontextur.
Angesichts der Hülleneigenschaften von Zahlensystemen, stellt sich die Frage, wohin soll gesprungen werden? Sprünge bedeuten hier nicht, dass von der Zahl n zu einer beliebigen anderen Zahl m innerhalb des Zahlensystems gesprungen werden können soll, sondern es gilt der wilde Anspruch eines Sprunges bzw. Satzes aus dem Regelsatzes, hier der Regeln der Nachfolgeroperation. Mit der Reihe der Schritte verwoben ist die Folge von Sprüngen.
Sprünge heissen bei Günther transkontexturale Überschreitungen". Solche Übergänge sind nicht einfach Transitionen einer Übergangsfunktion, sondern geregelte Sprünge von einer intra-kontexturalen Situation einer gegebenen Kontextur in eine andere Nachbar-Kontextur innerhalb einer Verbund-Kontextur. Sie sind somit immer doppelt definiert als Schritt intra-kontextural und als Sprung transkontextural. Auf die Kenogrammatik der Proto-Struktur mit ihrer Iteration und Akkretion bezogen betont Günther:
"Eine trans-kontexturale Überscheitung hat aber immer nur dann stattgefunden, wenn der Übergang von einem kontexturalen Zusammenhang zum nächsten sowohl iterativ wie akkretiv erfolgt." Günther, Bd. II, S. 275
Eine Folge "000121121" kann auch so verstanden werden, dass der Kopf "000" den Ort angibt, an dem die 1/2-Folge startet.
Um Folgen zu plazieren ist ein place-designator anzugeben.
Lücken, Sprünge und Ortsbestimmung (place-dedesignator) verbunden mit der jeweiligen Nachfolgeoperation, sind für polykontexturale Artithmetiken von fundamentaler Bedeutung.
Lücken, Sprünge und Orte bilden ein Konstituentensystem zur Bestimmung der transklassischen Zahlkonzeption.
Struktur des Übergangs von einem rechnenden Raum in einen anderen rechnenden Raum wird durch einen Chiasmus ermöglicht. Wichtig ist nun zu sehen, dass einerseits der Wechsel zwischen den einzelnen Binärsystemen chiastisch geregelt ist und andererseits die gesamte Konstruktion in der Kenogrammatik, hier der Trito-Ebene, ihre Fundierung hat. Der Chiasmus zwischen den Binärsystemen wird geregelt durch die Begriffspaare innen/aussen" und Anfang/Ende" bezogen auf die Sequenzen in den Binärsystemen. Der Chiasmus, der hier zur Beschreibung ins Spiel gebracht wird, lässt sich ebenso als Konstruktor der Sequenzen applizieren.
Im Beispiel a) 011/12/202/211/100/02 mit der Systemwechselfolge: S1S2S3S2S1S3 ist die letzte 1 von 011 ein Ende" der Folge S1 und wechselt zu einem Anfang" der Folge S2. Was in System S1 Ende ist, ist im System S2 Anfang. Beide Systeme sind jedoch disjunkt bzw. diskontextural zueinander im Sinne von innen/aussen". Insofern ist das was innen ein Ende ist, aussen ein Anfang. Der Repräsentant 1" gehört somit zugleich zwei verscheiden System an. Dies lässt sich auch als Indizierung notieren: 1 wird zu 11 und 12 bzw. 11,2. An diesem Ort sind also zwei Ereignisse zugleich versammelt. M.a.W., durch diesen Ort, markiert als Kenogramm, ereignen sich zugleich zwei divergente, jedoch miteinander vermittelte arithmetische Übergänge.
Zwischen Anfang und Ende gilt je System eine Ordnungsrelation, denn erst ist das Eine, der Anfang und dann das Andere, das Ende. Zwischen Aussen und Innen eine Umtauschrelation. Die kategoriale Gleichheit des Wechsels ist garantiert dadurch, dass es sich bei beiden Systemen um gleiche", wenn auch nicht selbige" Binärsysteme handelt. Damit sind die Bedingungen eines Chiasmus erfüllt und der Wechsel hat darin seine Fundierung.
Diese chiastische Begrifflichkeit ist dabei gänzlich formal ins Spiel zu bringen und sollte nicht inhaltlich eingeschränkt werden etwa auf die konkreten Repräsentationen von binären Zahlen. Der Chiasmus ist in diesem Sinne ein Operator und die jeweiligen Binärzahlen fungieren als die Operanden.
Durch die Vieldeutigkeit der Tritozahlen kommt eine gewisse Redundanz in die Arithmetik, die es erlaubt, bei Bedarf von einem System ins andere zu springen. Dies könnte von Wichtigkeit sein, wenn etwa ein Prozess in einem System ablaufen soll, das jedoch schon durch einen anderen Prozess belegt ist. Dann lässt sich durch Umdeutung und Sprung in ein anderes dazu passendes arithmetisches System dieser Umstand, der im uni-linearen Fall notwendigerweise zur Blockade führen würde, ohne Verlust umgehen. Systemwechsel als Umdeutung und Sprung in ein anderes arithmetisches System heisst, dass ein anderer arithmetischer Agent die Aufgabe übernimmt. Diese Übernahme ist nicht willkürlich, sondern durch die Relationen des Chiasmus zwischen den Systemen geregelt. D.h. die Übernahme kann nur zwischen passenden Systemen, verbunden durch Umtausch- und Koinzidenzrelation gelingen. Übernahme ist ein Modus der Interaktion.
Die Einführung von Redundanz im polykontexturalen Sinne involviert Kontingenz. Die Übergänge, basierend auf Umdeutungen, lassen sich nicht im voraus programmieren. Das prozessuale Objekt muss diese Entscheidung in der konkreten Situation selbst vollziehen. Dies ist nur möglich, wenn das Objekt mit der Fähigkeit einer entsprechenden Selbstreflektiertheit ausgestattet ist. Selbstreflektiertheit setzt eine Umgebung voraus. Diese ist in einem polykontexturalen System gewährleistet durch die Vielheit der miteinander interagierenden Kontexturen. Da verschiedene Wege zum Ziel führen können, entsteht eine Entscheidungsfreiheit, die sich nicht determinieren lässt.
Wegen der Ambiguität von polykontexturalen Zahlsequenzen bzw. der Möglichkeit zyklischer Verläufe ist es kein Widerspruch von einem simultanen Auf- und Abbau von Zahlfolgen zu sprechen. Eine Subsystemsequenz S123213 kann aufbauend und abbauend als Interpretation einer gleichen Zahlfolge betrachtet werden. Deutlicher wird die Möglichkeit des simultanen Auf- und Abbaus, wenn auch die Subsystemsequenz verschiedene Deutungen zulässt: Etwa S12313213 und S123213 als Interpretation der gleichen Zahl.
Das Zugleich von Aufbau und Abbau ist gewiss nicht abstrakt und unabhängig von der Zahlstruktur, sondern konkret und bezogen auf die gegebenen Möglichkeiten hin zu leisten, also nicht jeweils beliebig für die ganze Zahl, sondern einzig bezogen auf ihre ambigen Teile.
Damit entsteht die Möglichkeit einer Differenzierung des Begriffs der arithmetischen Gegenläufigkeit von der erst globalen und auch abstrakten Fassung zu einer sukzessiven Konkretisierung in lokalen Situationen. Dieser Konkretisierung entspricht eine Verwebung der möglichen und nicht möglichen Simultaneitäten des Auf- und Abbaus von Trito-Zahlen an einem logisch-strukturellen Ort.
Die Deutungsmöglichkeit verschiedener Computations in einem Ortesystems, d.h. der Kenogrammatik, lassen sich verhandeln. Sie sind nicht willkürlich, ihre Grenzen sind durch die Komplexität des Ortes bzw. des Systems der Orte bestimmt.
Verschiedene Interpretationen bzw. Lesarten entsprechen verschiedene vergleichbare Eigenschaften mit den entsprechenden computationalen Vor- und Nachteilen. Die Verhandlung der Interpretationen lässt sich im System selbst, d.h. innerhalb des Modells der Computation realisieren und ist nicht auf einen externen menschlichen Interpretanten angewiesen. Insofern sind Verhandlungen streng semiotisch bzw. poly-semiotisch definiert. Ein anthropologisches Verständnis eines Interpretanten übersieht seine formale Struktur als Referenzinstanz der Zeichenbildung bzw. der Verhandlung. Ein menschlicher Interpretant führt, semiotisch betrachtet, einzig die Unterscheidung von interner (mentaler) und externer (operationaler) Funktion eines Interpretanten als Instanz ein.
Polykontexturale Zahlenfolgen wie sie in vermittelten Binärsystemen über der Tritostruktur der Kenogrammatik definiert sind, zeigen völlig neue Eigenschaften, die der klassischen Theorie der Natürlichen Zahlen gänzlich fremd sind, wie sie etwa durch die Metaphern Lücken, Sprünge, Obstakel, Ambiguitäten, Nachbarn und Gegenläufigkeiten bezeichnet werden können.
Die zwei Deutungen der obigen Trito-Zahl sind zueinander verhaltensgleich, denn beide realisieren, wenn auch verschieden, ihre zugrundeliegende Trito-Zahl, sie sind somit bisimilar.
Ohne den Argumenten aus dem formalen Teil der SKIZZE vorgreifen zu wollen, möchte ich hier schon Einiges zur Klärung der nicht gerade üblichen Situation hinzufügen. Wie anderswo (Disseminatorik) schon beschrieben, und hier erneut inszeniert, muss zwischen dem Ort, den ein System einnimmt und dem System selbst unterschieden werden. Dies führt dazu, dass das gleiche System an verschiedenen Orten erscheinen kann. Bei drei Kontexturen, wie im obigen Beispiel, erscheint ein System an seinem eigenen" Ort, wie an den zwei fremden Orten. Dies gilt für alle drei Systeme gleichermassen. Unter diesem Gesichtspunkt lässt sich ein logisch-struktureller Ort auch als eine Abstraktion über Anfängen definieren. Ein Ort Oi repräsentiert alle Anfänge Aj des Systems S(m) .
Die Notation S1S2S3S2S1S3 für das obigen Beispiel ist gewiss eine Abkürzung unter Vernachlässigung der vakanten Plätze und schreibt sich ausführlich als: S100S020S003S020S100S003 .
Diese transkontexturalen Übergänge zeigen einen arithmetischen Prozess an, der sukzessive von einer Arithmetik an einem Ort zum zur anderen an einem anderen Ort wechselt. Simultaneitäten, Bifurkationen, Reduktionen und andere Konfigurationen sind dabei nicht involviert.
Dabei lassen sich folgende Regeln des Übergangs notieren:
Das Diagramm Neuanfänge macht zudem auch deutlich, dass zwei Typen von transkontexturalen Übergängen unterschieden werden müssen:
1. Der Übergang von einem System in ein anderes fremdes System als Fortsetzung eines Ablaufs in einem anderen System, der Systemwechsel.
2. Als Fortsetzung des einen Systems an einem anderen fremden Ort als transjunktionale Gabelung bzw. Bifurkation.
Der Graph der Neuanfänge für das Subsystem S1 liefert folgende Tritozahlen:
TZ1 = (201) mit der Subsystemfolge S31
M.a.W., das Subsystem S1 mit der Binärfolge (0,1) startet, unabhängig von anderen Verteilungen von S1, an den uminterpretierten Wurzeln 03 von S3 und 12 von S2. Damit ist das Binärsystem S1 über zwei Wurzeln in disjunkter Weise verteilt.
Die folgenden Diagramme zeigen die vorangehenden Systemwechsel mit zusätzlicher Bifurkation. Dh. es wird nicht bloss ein Systemwechsel vollzogen, sondern das Ausgangssystem bleibt simultan zu den Nachbarsystemen aktiv.
Ausführlichere Darstellung mithilfe einer Dekomposition in Subsysteme.
Es lassen sich nach meinem Vorgehen sinnvollerweise die drei Zugänge als drei Stufen der Konkretion der Idee des Machinalen wie sie in den Standardtheorien der Berechenbarkeit dargestellt werden, verstehen.
Aus der Vielheit der möglichen Präzisierungen der Intuition der Berechenbarkeit ist diese Auswahl gewiss nicht vollständig, sondern entspricht der Intention der SKIZZE, die klassische Idee der Berechenbarkeit und des Machinalen soweit zu explizieren und exemplifizieren, dass der Übergang zur Idee einer transklassischen Konzeption des Computing, des TransComputing, nachvollziehbar gemacht werden kann.
Die Konzentration auf die Minimalstruktur des Machinalen führt zu den Explikationen von Kaluzhnine und Gurevich. Hier wird von den Spezifikationen, die zu einer Typologie von Automaten bzw. Maschinen führt abstrahiert. Diese Minimalmodelle bilden eine gute Basis für die anvisierte Einführung einer polykontexturalen Maschinenkonzeption. Ebenso lassen sie sich die disseminierten Modelle entsprechend etwa des Levinschen Modells durch weitere Spezifikationen konkretisieren. Es wäre für die Einführung des Gedankens einer transklassischen Maschinenkonzeption wohl zu abstrakt, sich einzig mit dem Minimalmodell der Transition zu begnügen.
Z: Menge der Zustände der Maschine, T ist die Überführungsrelation (transition rule) zi T zi+1 und als Funktion: zi+1 = T(zi).
Die Konzeption der Maschine lässt sich als Tripel notieren: (M, Z, T).
Dies gibt Anlass, den Conceptual Graph der Maschine einzuführen.
Hier wird noch gänzlich von weiteren Explikationen bzg. Signal, Takt, Zeit, diskret, deterministisch usw. abgesehen.
Die Übergangsfunktion ist jedoch durch die Abbildung der Zustände auf die Reihe der positiven natürlichen Zahlen bestimmt als diskret, linear, sequentiell.
Da eine Maschine nicht von selbst läuft, muss sie programmiert werden.
Levins Modell der Berechenbarkeit ist, wie ausreichend dargestellt, eher eine systemische Spezifikation des Machinalen im Rahmen der grundlegenden Begrifflichkeiten, wie Raum, Zeit, location, events usw.
Diese Charakterisierung nenne ich systemisch-kategorial. Sie ist nicht so direkt auf Regeln der Spezifikation bezogen wie der Ansatz Gurevichs.
Eine weitere Spezifikation poly-algorithmischer Systeme, wenn auch immer noch auf einem sehr generellen und abstrakten Level, ist mithilfe der Graph-Schemata von Kaluzhnin möglich.
"Die Theorie der Kalushnin-Graph-Schemata kann als eine Art Metatheorie der Algorithmen aufgefasst werden: Graph-Schemata mit einer gewissen Interpretation ergeben die normalen Markov-Algorithmen, mit einer anderen die Turing-Maschinen, mit wieder einer anderen die partiell rekursiven Funktionen." H. Maurer, Theoretische Grundlagen der Programmiersprachen, B.I, 404, 1969 p. 16
Die Verwendung der Graph-Schemata soll hier mehr heuristische Funktion haben, denn irgendetwas beweisen zu wollen. Es geht mir hierbei um eine weitere Konkretion der Metapher eines Gewebes rechnender Räume. Dies schliesst nicht aus, dass später diese Heuristik für konkrete Formalisierungen ins Spiel gebracht werden kann.
"The basic idea is very simple, at least in the sequential case, when time is sequential (the algorithm starts in some initial state S0 and goes through states S1, S2, etc.) and only a bounded amount of work is done each step.
Each state can be represented by a first-order structure: a set with relations and functions. (...) Thus, the run can be seen as a succession of first-order structures, but this isn´t a very fruitful way to see the process.
How do we get from a state Si to the next state Si+1? Following the algorithm, we perform a bounded number of transition rules of very simple form." Gurevich, p. 5
Die ASM reflektiert die basale logische Struktur der Übergangsfunktion (transition rules) für eine sequentielle Maschine als eine IF-THEN-Beziehung.
Der Conceptual graph der ASM notiert die Tripel-Struktur dieser Relation fundiert in der Unizität: (ASM, IF, THEN, 1).
Die Dissemination des Modells besteht aus drei Schritten:
1. Der (formalen) Distribution des Modells,
2. Der (formalen) Vermittlung der Modelle,
3. Der Dekonstruktion der Begrifflichkeit der Modelle,
4. Der Einführung neuer Begrifflichkeiten und Terminologien der Interaktion zwischen den Modellen.
Es handelt sich bei der Dissemination als Distribution und Vermittlung der Systeme nicht einfach um eine Verknüpfung klassischer Modelle, denn deren Grundbegriffe werden nicht nur distribuiert, sondern auch dekonstruiert im Sinne einer Verschiebung und Generalisierung der basalen Konzepte, verbunden mit der Einführung neuer Terminologien.
Durch Generalisierung des Gegensatzes von synchroner vs. asynchroner Prozesse, muss ein neuer Gegensatz gefunden werden. Der neue Gegensatz ist hier: monochron vs. polychron. Klassische Computation erweist sich als monochron, transklassische als polychron. Der neue Gegensatz ist jedoch nicht mehr symmetrisch. Zwischen monochron und polychron besteht eine Asymmetrie zu Gunsten der Polychronie. Dies bedeutet, dass der klassische Begriff der Computation heterarchisch über verschiedene Orte verteilt wird. Das Resultat ist eine Erweiterung bzw. Generalisierung des Begriffs der Computation als TransComputation.
In einer klassischen, d.h. monochronen Situation gilt, dass es genuin eine und nur eine Zeit, eine Zeitfolge und einen Zeittakt in einem System gibt. Asynchronie und Synchronie müssen auf diese eine Zeitlichkeit abgebildet werden. Genuin asynchronische Ereignisfolgen wären erst dann möglich, wenn sie nicht auf die selbe, sondern auf verschiedene oder polykontextural gleiche Zeitlichkeiten abgebildet werden könnten.
Innerhalb des Bereichs der Polychronie zeigt sich die heterarchische Vermittlung des klassischen Modells der Computation dargestellt in äusserster Reduktion als Graph der synchronen Berechenbarkeit.
Die Darstellung der Konstellation in Form eines Begriffsbaumes ist gewiss irreführend. Statt einer, eine Hierarchie suggerierenden Begriffsdarstellung, ist es adäquater, die Heterarchie der Verteilung zu betonen.
Allerdings ist zu bedenken, dass es für eine Darstellung von Heterarchien noch keine erprobten Darstellungstechniken gibt. Ein direkter Bezug auf die Diagrammatik hilft hier, wegen ihrer genuin hierarchischen Struktur, nicht weiter. Die Diagrammatik bietet jedoch eine interessante Anknüpfungsstelle für eine Dekonstruktion in Richtung auf eine dynamische Diagrammatik.
Eine, wenn auch nur bzgl. ihrer Suggestivität, interessante Darstellungsmethode bietet das Metapattern von Pieter Wisse. Ähnliche Darstellungsformen jedoch verbunden mit klar definierter Operativität, gibt es schon in frühen Arbeiten zur polykontexturalen Logik und ihrer Tableaux-Darstellung der Transjunktionen (Kaehr 1976, Bashford 1991). Diese sind nicht besonders bekannt, daher ist es unter diesem Gesichtspunkt reizvoll, den Ansatz der Metapattern einzuführen.
TransComputation ist nicht einfach ein Oberbegriff zu den einzelnen Typen der Computations. D.h., dass das TransComputing nicht durch eine Abstraktion aus den bestehenden Verhältnissen gewonnen wird, sondern, zumindest in diesem Zusammenhang, eine Generalisierung bestehender Ansätze darstellt.
Damit ist die Idee der Distribution des abstrakten Modells angedeutet, offen bleibt jedoch die Bestimmung der Vermittlung der Modelle. M.a.W., es gilt, die heterarchische Funktion des Metapattern von seiner Suggestivität in eine Operativität zu transformieren. Das Metapattern der Verteilung und Vermittlung ist ohne die gefärbten, vermittelnden Linien zu notieren
Kenomische Ereignisse verorten sich als poly-Zustände zu ihren Orten. Kenomische Ereignisse als Übergänge sind Orte erzeugend und räumen Platz und Zeit ein für multiple events und states, d.h. für Zustände, genauer für Rechnungen" im Sinne eines Gewebes rechnender Räume.
Kenomische Orte sind Ortschaften Rechnender Räume". Denn jeder Rechnende Raum" nimmt einen, d.h. seinen Ort ein. Dieser Ort wird im klassischen Modell der Berechenbarkeit durch den rechnenden Raum verdeckt, er bleibt ihm unentdeckt für seine rechnende Realisation. Dies macht die Abstraktheit, die fehlende Verkörperung" des Modells des Berechenbaren aus. Für diese Sichtweise gibt es nur einen rechnenden Raum und auch nur einen ihm zugehörigen Ort, insofern wäre diese Unterscheidung zwischen Ort und rechnendem Raum ohne Nutzen.
Klassische Computation lässt sich als ein Spezialfall der Interpretation von polykontexturalen Ereignisfolgen verstehen. Jeder Ort, klassisch interpretiert durch einen Knoten bzw. eine Kante, kann daher bei einer klassischen Interpretation durch ein und nur ein Ereignis belegt werden.
Es gibt daher nur eine Zeit, bzw. nur eine Zeitfolge. Die Zustände sind objektiv durch den Algorithmus gegeben und bedürfen keiner Interpretation bzw. sind keiner Interpretation zugänglich. Ausserhalb einer mono-kontextural gefassten Konfiguration ist nichts. Auch wenn sich dieses Nichts gelegentlich als Orakel einer Interaktion ins Spiel bringen lässt, ist es nicht positiv als eine Umgebung oder als eine Nachbar-Konfiguration definiert.
Jeder kenomische Ort dagegen ist Platz für eine Komplexion von Zuständen und mithin von Konfigurationen. Es handelt sich nicht um eine blosse Vielheit von Zuständen an einem Ort, sondern um miteinander vermittelte Zustände. Im Gegensatz zu multi-Zuständen, also Tupel von Zuständen, die jedoch allesamt unifizierbar, d.h. formal auf elementare Zustände reduziert werden können, sollen die vermittelten irreduziblen Vielheiten von Zuständen poly-Zustände genannt werden. Multi-Zustände sind typisch in parallelen zellulären Modellen, lassen sich aber nachträglich bzgl. der Mächtigkeit ihrer Berechenbarkeit auf unitäre Zustände einer Turingmaschine (TM) reduzieren.
Es ist also zu unterscheiden zwischen einer Konfigurationen von Zuständen als multi-Zustände und einer polykontexturalen Vielheit von Zuständen in vermittelten Lokationen und Konfigurationen eines polykontexturalen Zusammenhanges.
Diese Anmerkung führt somit die transklassische Unterscheidung ein von configuration vs. polycontextural configurations (p-configurations). Der second-order Begriff von configuration bzw. seine Dekonstruktion ist realisiert im Begriff der Kontextur. D.h., die Generalisierung und Verschiebung von configuration" führt zu dem allgemeineren Zusammenhang von Ereignissen klassischer und transklassischer Art, der Kontextur. Als Polykontexturalität umfasst dieser Zusammenhang configurations mit multi-Zuständen und p-configurations mit poly-Zuständen. Terminologisch werden die p-configurtations erfasst durch den Begriff der Konstellation von Konfigurationen.
Eine einfache Diagramm-Darstellung des Übergangs von klassischer Konfiguration zu transklassischer, d.h. polykontexturaler, soll dies in einem ersten Schritt verdeutlichen:
Die configuration gliedert sich aus in zwei Unterbegriffe bzw. zwei verschiedene, d.h. disjunkte Sorten. Die Ausgliederung ist hierarchisch im Sinne einer Unterordnung. Im Gegensatz zu dieser Begriffgliederung steht die chiastische Form des Verhältnisses von Konfiguration und Kontextur.
Dadurch, dass das Konzept configuration" zu einer Kontextur erhoben wird, transformiert sich sein Formbegriff, es wird verallgemeinert und erhält eine Neutralität bzw. Distanz zu Unterscheidungen, die für die ursprüngliche Konfiguration leitend sind.
Eine Dissemination, verstanden als Distribution, d.h. Verteilung und Vermittlung, ist immer auch verbunden mit einer Verallgemeinerung, d.h. mit einer Verschiebung in eine andere Abstraktionsebene. Bei einer Distribution werden nicht einfach die klassischen Systeme, ohne Statusänderung bzgl. ihrer Formalität, verteilt, um miteinander verknüpft werden zu können. D.h. auch das klassische System als Ausgangspunkt der Dissemination wird einer dekonstruktiven Veränderung seiner Formalität unterworfen. Einzig in seiner Isoliertheit und unter Reduktion seiner transjunktionalen Operatoren wird es wieder zum klassischen Identitätsystem mit seinem klassischen Formbegriff.
Die Distribution der configurations in einer Verbundkontextur (Polykontextur) erzeugt eine Konstellation von Konfigurationen. Besteht die Konstellation aus nur einer Konfiguration, dann tritt der klassische Fall ein. Das konzeptionell abstraktere Konstrukt zu configuration ist die Konstellation (von Konfigurationen) im Hinblick auf dessen Polykontexturalität.
Entsprechend soll in den folgenden Kapiteln, die Konzeption des TransComputing mithilfe der dargestellten Modelle des Computing durch Levin, Kalushnine und Gurevich eingeführt werden.
Eine abstrakte Maschine sei definiert durch: M = (Z, T) mit
Z: Menge der Zustände der Maschine,
T: Überführungsrelation zi T zi+1 bzw. als Funktion: zi+1 = T(zi).
Der Conceptual Graph der abstrakten Maschine M = (M, Z, T) wird hier über drei Orte verteilt. Jede Bestimmung erhält somit ihren Ortsindex geregelt über Umtausch- und Koinzidenzrelation (im Diagramm nicht vollständig notiert).
Eine Maschine Mi wird hier als Morphismus verstanden: M: Mi --> Mi mit i= 1,2,3. Zwischen diesen Morphismen, die in der Terminologie der Chiastik Ordnungsrelationen darstellen, gelten zusätzlich die Umtausch- und Koinzidenzrelationen, die für die Vermittlung der drei Maschinen zuständig sind. Diese chiastische Relationalität überträgt sich automatisch auf alle Bestimmungen der Maschine, also auch auf ihre Ereignisfolgen.
Je Maschine gelten die klassischen Übergangsbeziehungen zi Tj zi+1, i gilt innerhalb einer Maschine Mj, der Index j gibt die Anzahl der vermittelten Maschinen an.
Also: zji+1 = Tj (zji) für alle i, j.
Zusätzlich zu diesen intra-kontexturalen Übergängen gilt die trans-kontexturale Überschreitungsfunktion U, die den Wechsel von einer Maschine Mi zu einer anderen Maschine Mj und simultan das Weiterlaufen der Transitionen innerhalb Mi regelt.
Das Diagramm zeigt den Verlaufsgraphen einer einfachen transkontexturalen Situation für zwei Ereignisfolgen.
Die Ereignisfolge der Maschine M1 hat zusätzlich zu ihrer intra-kontextualen Ereignisfolge eine simultane Fortsetzung am Ort der Maschine M2. Die Maschine M2 hat für sich ihre eigene intrakontexturale Ereignisfolge. Für die dritte Maschine M3 gilt das entsprechende wie für M2: sie hat zusätzlich zu ihrem immanenten Verlauf eine simultane Fortsetzung am Ort der Maschine M2. Sowohl die Maschine M1 wie die Maschine M3 interagieren mit der Maschine M2.
Zur Erinnerung: "Unter einem determinierten abstrakten Automaten versteht man ein System, das in einer diskreten Zeitskala mit abzählbar unendlich vielen Takten arbeitet. Diese Takte numerieren wir mit den positiven natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... Automaten empfangen in jedem Takt t an ihrer Eingabe genau einen Eingabesignalwert xi und senden in jedem Takt t genau einen Ausgabesignalwert yt aus. In jedem Takt befindet sich das System in genau einem Zustand z, der sich erst beim Wechsel des Taktes ändern kann." P.H. Starke, Abstrakte Automaten, Berlin 1969
Wenn nun je System eine eigene Übergangsfunktion gilt, dann verhält sich das Gesamtsystem nicht mehr nach Massgabe der diskreten linearen Zeitfolgen. Es gelten mehrere Zeitfolgen zugleich. Zugleich heisst nicht Gleichzeitig im Sinne einer übergeordneten Zeitfunktion, sondern irreduzibel parallel. Damit ist zweierlei erreicht, einmal können die einzelnen Zeitfolgen sich in ihrer Zeitstruktur (Takt, Chronologie, Modus usw) voneinander unterscheiden oder auch nicht und zweitens gilt, dass das was zwischen den verschiedenen Zeiten gilt, nicht mehr unter die Belange der Zeitlichkeit versammelt werden kann. Die Distribution von Zeitfolgen geschieht nicht wiederum in einer (dieser) Zeitfolgen.
Die Verteilung von Zeitfolgen kann etwa als Gegenläufigkeit der Zeitfolgen interpretiert werden. Gegenläufigkeit kann heissen, dass die eine Zeitfolge auf die System bezogene Zukunft hin ausgerichtet ist, während die dazu komplementäre Zeitfolge sich auf die Vergangenheit des Systems beziehen kann. Die zeitliche Orientierung eines lebenden Systems lässt sich ohne diese Gegenläufigkeit kaum verstehen. Die Systemzeit eines lebenden Systems lässt sich verstehen als die Vermittlung der gegenläufigen Zeitfolgen. Dieser Vermittlungsprozess selbst kann als Gegenwärtigkeit des lebenden Systems betrachtet werden. Formulierungen dieser Art lassen sich konkretisieren, wenn die Gegenläufigkeit verbunden wird mit weiteren Unterscheidungen wie etwa internal/external oder volitiv/kognitiv usw.
M.a.W., es lässt sich wohl kaum ein artifizielles System konzipieren und realisieren, das höhere Grade der Lernfähigkeit wie das Lernen des Lernens usw. im Sinne Batesons, aufweist, ohne dass es minimale Gegenläufigkeit und Mehrzeitigkeit inkorporiert.
Begriffe wie Mehrzeitigkeit" und Gegenläufigkeit" sind erste Schritte einer Dekonstruktion des linearen Zeitbegriffs in Richtung einer Explikation von Zeitigung und Raumung.
Auf einer ähnlichen Abstraktionsebene wie das eben eingeführte Modell findet sich die Abstract State Machine von Gurevich. Hier soll mehr der logische Aspekt der Transition verstanden als IF-THEN-Funktion betont werden, während im Modell der Abstrakten Maschine die Zeitstruktur deren Übergangsfunktion als Taktfolgen im Fokus standen.
"The basic idea is very simple, at least in the sequential case, when time is sequential (the algorithm starts in some initial state S0 and goes through states S1, S2, etc.) and only a bounded amount of work is done each step. Each state can be represented by a first-order structure: a set with relations and functions." Gurevich, p. 5
Die Vermittlung zweier ASM dargestellt als Conceptual Graph mit seinen Chiasmen.
Chiasmus zwischen dem Dualpaar: IF - THEN
Chiasmus zwischen dem Dualpaar: THEN - ASM (nicht markiert)
Chiasmus zwischen dem Dualpaar: ASM - 1
Die restlichen Chiasmen werden hier nicht thematisiert.
Die Einfachheit der ASM als Übergangsschema der Transition von einem Zustand zum Nachfolgezustand mit seinen "first-order structures" realisiert als Relationen und Funktionen über ihren Objekten, vererbt sich in dem Vermittlungs-Schema zweier ASM-Schemata. Durch die Umtausch- und Ordnungsrelationen wird gesorgt, dass die zwei ASMs in einem irreduziblen Parallelismus zueinander stehen. Ist diese Verteilung etabliert, lassen sich Operationen einführen, die zwischen den beiden ASM gelten. Diese Operationen regeln die Interaktivität zwischen den verschiedenen ASMs und werden durch trans-kontexturale Operatoren realisiert.
Eine Maschine hat, auch wenn sie als abstrakte Übergangsfunktion bzw. state transition machine, thematisiert wird, ihre interne Struktur. Als Beispiel soll hier, die wiederum sehr abstrakte G-machine, Graph-Reduction-Machine, wie sie zur Implementierung funktionaler Programmiersprachen benutzt wird, betrachtet werden (s.a. SECD-Machine). Hier steht offensichtlich die interne Struktur der Maschine im Vordergrund, während das Gurevich-Modell eher die Verhaltensweise der Maschine thematisiert.
"The G-machine is a finite-state machine, with the following components:
(iii) C, the G-code sequence remaining to be executed.
(iv) D, the dump. This consists of a stack of pairs (S, C), where S is a stack and C is a code sequence.
Thus the entire state of the G-machine is a 4-tupel (S, G, C, D). We will describe the operation of the G-machine by means of state transitions." Peyton, p. 320
Um die Funktionsweise dieser Stackmaschine kurz zu exemplifizieren, zitiere ich weitere Bestimmungen und Notationen.
"A stack whose top item is n is written n:S, where S is a stack. An empty stack is written ().
A code sequence whose first instruction is I is written l:C, where C is a code sequence. An empty code sequence is written ().
A dump whose top pair is (S, C) is written (S, C): D, where D is a dump. An empty dump is written ().
The possible types of nodes in the graph are written like this:
FUN k C a function (supercombinator or built-in) of k arguments, with code sequence C
HOLE a node which is to be filled later.
The notation G(n=AP n1 n2) stand for a graph in which node n is an application of n1 to n2. The notation G(n=G n´) stands for a graph in which node n has the same contents as node n´.
The graph is a logical concept, implemented by the heap. A node in the logical graph need not necessarily occupy a cell in the physical heap."
Damit sind die Notationen festgelegt und die Funktionsweise der Übergangsfunktion (Transition) kann realisiert werden.
(S, G, PUSHINT i:C, D) ===> (N:S, G(n=INT i), C, D)
"This says that when PUSHINT i is the first instruction, the G-machine makes a transition (denoted by ==>) to a new state in which
(i) a new node n is pushed onto the stack,
(ii) the graph is updated with the information that node n is INT i,
(III) the code to be executed is everything after PUSHINT i,
IV) and the dump is unchanged."
Entsprechend werden nun alle anderen Funktionen wie EVAL, PUSH, POP usw. definiert.
Die G-Maschine wird initialisiert mit BEGINN und Output O:
(O, S, G, BEGIN:C, D) ===> (O, (), (), C, ()).
D.h., der Stack, der Graph und der Dump werden auf leer gesetzt.
Hier wird das Top-Element des Stacks ausgedruckt:
(O, n:S, G(n=INT i), PRINT:C, D) ===> (O:i, S, G, C, D)
Es ist offensichtlich, dass die Grundstruktur der G-machine bzw. die grundsätzliche Form ihrer Aktionen beschrieben werden kann durch die Abstract State Machine Gurevichs, nämlich als Transition, die von einer Zustandsmenge b zur neuen Zustandsmenge übergeht, die simultan die Bedingungen U1U2...Un erfüllt.
Die Beispiele für die Transitionen der G-machine sollen dies illustrieren.
Diese G-machine ist nun die Basis für eine Implementierung auf einer konkreten Maschine, d.h. der G-code muss in den Maschinencode der anvisierten Maschine übersetzt werden. Damit dürfte dem Konkretionsbedürfniss Genüge getan sein.
Nach dem bekannten Strickmuster der Dissemination von Systemen, lässt sich nun die G-Maschine zu eine polykontexturalen G(m)-Maschine distribuieren und vermitteln.
Je Ort wird somit eine volle G-Maschine mit all ihren Operationen und Charakterisierungen realisiert. Also alle Bestimmungen des Graphen wie INT, CONS, AP, FUN, HOLE wie alle Transitionen für die Kontrollstruktur wie EVAL, JUMP usw. wie alle Stack- und Datenbestimmungen wie HEAD, PUSH, POP usw.
D.h. das ausführliche Basis-Schema der G(3)-Maschine ohne transkontexturale Interaktionen ist hier notiert mithilfe des Lückenzeichens # für nicht belegte Subsystemplätze.
Wenn je logisch-strukturellem Ort eine volle G-Maschine mit all ihren Operationen und Charakterisierungen realisiert wird, heisst dies, dass die jeweiligen Konstituenten der verschiedenen Maschinen untereinander radikal disjunkt sind.
Zusätzlich zu diesen intra-kontexturalen Bestimmungen werden zwischen den einzelnen Maschinen Superoperatoren definiert, die die Interaktion der einzelnen G-Maschinen zueinander regeln. Die Interaktionsformen werden durch die Operationen realisiert, die der Maschine zur Verfügung stehen. Es werden keine andere systemfremde Operatoren benötigt. D.h., die Interaktion vollzieht sich bzgl. der Verteilung der Operatoren der Maschine selbst, also EVAL, PUSH usw. Zumindest gilt dies als Einstieg.
Einige Superoperatoren seien, wie aus anderen Zusammenhängen bekannt, die Operatoren:
D.h. die Superoperatoren sind definiert durch folgenden Bestimmungen für die Komplexion von G-Maschinen G(m):
IDi: (G1G2...Gi...Gn) ===> (G1G2...Gi...Gn)
PERMij: (G1G2...Gi Gj...Gn) ===> (G1G2...GjGi...Gn)
REDij: (G1G2...Gi Gj...Gn) ===> (G1G2...GiGi...Gn)
BIFi : (G1G2...Gi...Gn) ===> (G1G2...(Gi1...Gin)...Gn)
Bei der Distribution ist zu beachten, dass die G-Maschine nicht bloss als einzelne, sondern auch in ihren Verhältnissen zu den anderen G-Maschinen distribuiert wird. D.h., die Umgebung einer G-Maschine muss mit notiert werden. M.a.W, sollen drei G-Maschinen miteinander vermittelt werden, dann sind einmal für jede Maschine isoliert deren Stack notiert. Da jede einzelne G-Maschine ihre Umgebung in sich modelliert, sind die entsprechenden Repräsentationen der Stacks der anderen Maschinen in dieser zu notieren. Die einzelne G-Maschine hat somit ihren je eigenen Stack plus die Stacks der Modellierung der Stacks der anderen Maschinen.
Was für das Konzept des Stacks gilt, gilt für alle anderen Bestimmungen der G-Maschine: (S, G, C, D) mit ihren Graphen, Code, Dump.
Da jede einzelne G-Maschine innerhalb der Komplexion ihrer Vermittlungen autonom ist, können ihre Transitionen entsprechend verschieden sein. D.h. eine G-Maschine kann zugleich zu einer anderen Maschine eine andere Operation oder sie kann die gleiche, jedoch nicht die selbe Operation ausführen. Man kann hier von monoformen und polyformen Transitionen sprechen.
Damit ist vorerst einzig ein sehr abstrakter Hinweis gegeben, wie das Verhalten solcher disseminierter Maschinen zu verstehen ist ohne dabei darauf einzugehen, was beim Wechsel von einer Maschine zur anderen mit der Bedeutung und Relevanz der Termini geschieht.
Die folgenden Beispiele klammern die Systemumgebungen aus.
Dieser reine Parallelismus der monoformen wie der polyformen intra-kontexturalen Transitionen erhalten ihre Attraktivität einzig dadurch, dass sie auf der Basis dreier vermittelter Systeme ablaufen. Wäre diese Vermitteltheit nicht geleistet, wären die Abläufe wenig anderes als das isolierte Geschehen dreier separierter Maschinen.
Diese Beispiele beziehen sich auf Situationen, die klassische gesprochen als isoliert parallel bezeichnet werden können. Es finden noch keine Permutation, Reduktionen oder transkontexturellen Übeschreitungen, d.h. Bifurkationen und Transjunktionen statt. Ebensowenig werden die Einschränkungen der Vermittlung der Operatoren durch sog. Vermittlungsbedingungen nicht ins Spiel gebracht.
Die Stärke der Idee einer polykontexturalen Maschine liegt in der Konzeption der transkontexturalen Transitionen. Ein System hat in sich selbst eine Fortsetzung eines anderen Systems. Das System räumt dem Nachbarsystem einen Platz für die Realisation ausgelagerter Operationen ein. Eine transkontexturale Instruktion in einer Maschine Gi aus G(m) verzweigt sich simultan in einer weiteren Maschine Gj:
Instr-trans(Gi) = Instr(Gi) .simul. Instr(Gj)
Die Maschine G2 initialisiert sich für sich selbst an ihrem Ort und zugleich wird diese Operation am Ort der Maschine G1 vollzogen während diese ihre eigene Operation PUSHINT vollzieht. Die Maschine G3 ist nicht in eine Interaktion einbezogen und realisiert unabhängig von ihrer Umgebung ihre eigene Operation PUSHINT. Es ist hier noch nicht der Ort, den Sinn einer solchen Situation zu explizieren.
Das Diagramm zeigt die je autonomen Transitionen der drei Maschinen M1, M2, M3 und den transkontexturalen Übergang der Transitionen der Maschine M2 in die Kontextur der Maschine M1. Das Diagramm macht auch deutlich, dass die beiden Aktionen der Maschine, die intra- und die trans-kontexturale Transition, mit der Maschine M2 in einem zu klärenden Sinne verbunden bleiben. Dies gilt insb. für den transkontexturalen Übergang. Hier genügt es vorerst zu sagen, dass der Graph dieser Aktion, auch wenn er in verschiedenen Kontexturen O1 und O2 gilt, ein zusammenhängender ist. Zu klären bleibt auch die Relation der Aktionen von M1 und M2 am Ort O1 zueinander. Vorerst handelt es sich um rein disjunkte Transitionen bzw. Zustandsmengen.
Das Basis-Schema für die obige Situation (G120, G020, G003) lässt sich etwas ausführlicher darstellen in dem folgenden Schema.
Es wäre gewiss sinnlos, wenn für eine polykontexturale Maschine gelten würde, dass alle ihre Bestimmungen miteinander beliebig kombiniert werden könnten und alle diese Kombinationen zugleich gelten würden. Es ist nicht das Diktat eines neuen Identitätsprinzips das diese Kombinationen einschränkt, sondern die Konzeption einer realisierbaren Vermittlung von Systemen jeglicher Art. Gewiss gilt intra-kontextural ein System spezifisches Identitätsprinzip, denn eine Funktion PUSH ist nicht simultan für dasselbe System eine Funktion POP oder PRINT. Andererseits kann ein POP in einem System sehr wohl als ein PUSH in einem anderen System fungieren. Diese intrikaten Bedingungen, die das Funktionieren einer polykontexturalen Maschine bestimmen, können hier, wo es einzig um die Explikation der Grundidee geht, nicht dargestellt werden. Das Framework der formalen Bedingungen der Vermittlung werden in der Theorie des Chiasmus dargestellt.
Die klassische Transition ist logisch eine IF-THEN-Konstruktion, die ihre Darstellung in einer Logik als Implikation erhält.
Eine Komplexion von G-Maschinen, verstanden als Skelett einer polykontexturalen Maschine besitzt je Maschine intra-kontextural eine IF-THEN-Relation, die in ihrer jeweiligen Logik dargestellt wird. Die polykontexturale Maschine als Ganze besitzt somit eine Vielheit von zugleich geltenden logischen Implikationen. Dieser Sachverhalt wird in einer entsprechenden polykontexturalen Logik realisiert. Naheliegenderweise gibt dieser Sachverhalt auch einen Hinweis darauf, dass eine polykontexturale Maschine nicht ohne Verlust ihrer Charakteristika auf eine klassische Situation abgebildet werden kann. M.a.W., einer polykontexturalen Maschine liegt eine ebenso polykontexturale Logik und Arithmetik zugrunde, die selber wiederum in der Kenogrammatik fundiert sind. Soll also die polykontexturale Konzeption des Maschinalen auf die klassische Konzeption abgebildet werden, sei es als Simulation oder als Reduktion, müssen auch die entsprechenden polykontexturalen Konzepte und Apparate der Logik, Arithmetik und Semiotik mit reduziert werden.
Global gesprochen soll eine Operation definiert werden, die im ersten Subsystem eine ID-Operation, im zweiten eine Gabelung in die Subsysteme S1 und S3 leistet, also BIF1,3 und eine identitive Operation in System S3 liefert, etwa (ID, BIF1,3, ID). Diese Operation liefert lokal betrachtet folgende Konstellation (ID, BIF, #) (#, BIF, #) (#, BIF, ID). Als Dekompositions-Formel allgemeiner:
(ID, BIF1,3, ID) (OP1, OP2, OP3)
---------------------------------------
(OP1, OP2, #) (#, OP2, #) (#, OP2, OP3)
Auf dieser Abstraktionsebene lässt sich ein Kalkül für die Superoperatoren konstruieren. Darauf gehe ich hier nicht ein, sondern spezifiziere diese allgemeine Formulierung nun sukzessive zu einer Menge logischer Formeln.
Der ID-Operator umfasst in einer Polylogik die Menge der Junktoren wie Konjunktion, Disjunktion, Implikation usw. je Subsystem. In der Smullyan-Notation sind es die Alpha- und Beta-Terme. Dagegen umfasst die BIF-Operation die Menge der Transjunktionen zusammengefasst zu den Delta- und Gamma-Termen. Zumindest ist dies eine mögliche, wenn auch eher konservative Interpretation.Die weiteren Superoperatoren RED und PERM sind in dem Beispiel nicht involviert.
Eine polykontexturale logische Formel wird nicht nur (wie im klassischen Fall) in ihre Subkomponenten (Subformulas) abgebaut, sondern zusätzlich auch in ihre logischen Subsysteme. So ist etwa S(3) abzubauen in die (in sich komplexe) Subsystemfolge (S123, S123, S123) d.h., in ihre drei Subsysteme, die jedoch in sich Plätze für die Repräsentation der Nachbarsysteme enthalten.
Es soll die Funktion (X and trans or Y) mit einer Konjunktion im Subsystem S1, einer Transjunktion im Subsystem S2 und einer Disjunktion im Subsystem S3 gewählt werden mit den folgenden sukzessiv konkretisierendenTableaux-Bestimmungen. Andere Konkretionen des Operatoren-Schemas wären etwa (X or trans or Y), (X or trans and Y), (X and trans and Y). Die Mischungen mit der Implikation impl haben eine leicht verschiedene Realisation. Funktional lässt sich die Situation kurz notieren mit:
Es sollen die Spezifikations-Ebenen für die Funktion Fand trans or angedeutet werden.
1. Superoperatoren (ID, PERM, RED, BIF), siehe oben.
2. Subsysteme (¼) bezogen auf die Signaturen
3. Smullyan-Unifikation erweitert durch gamma und delta
5. Implementierung in ML (s. Bashford 1992)
T1 (X and trans or Y): alpha1, gamma2
F1 (X and trans or Y)): beta1, delta2
T2 (X and trans or Y)): delta2
F2 (X and trans or Y)): delta2
T3 (X and trans or Y)): beta3, gamma2
F3 (X and trans or Y)): alpha3, delta2
Dabei sind alpha und beta dual zueinander.
Der Abbau der Formel (X and trans or Y) geshieht aufgrund der Signierung durch folgende Regel.
Dieser Interpretation der Formel X and trans or Y mithilfe logischer Signaturen liegt eine Werte-Semantik zugrunde, die als Resultat einer Dissemination der Wertemenge W={T, F} konstruiert wird. Die chiastische Verteilung der Werte von W über 3 Orte wird als Linearform von System1 und System2 vermittelt durch System3 interpretiert.
Wie aus den Signaturen-Tabellen ersichtlich, handelt es sich bei dieser Form der Realisation von Bifurkationen und trans-kontexturalen Verläufen um recht rigide geregelte Möglichkeiten, die gänzlich auf der Basis der Ambiguität der Einzelwerte und der Nutzung partieller Funktionen basieren.
Hier ist endlich wieder eine Anknüpfung gegeben an die polykontexturale Arithmetik wie ich sie als Vermittlung von Binärsystemen auf der Basis der Trito-Stufe der Kenogrammatik eingeführt habe.
Die Frage ist, wie werden die einzelnen Bestimmung der G-Maschine auf der Ebene einer konkreten Maschine repräsentiert. Wie also werden der Stack, der Graph, der Code und der Dump der G-Machine (S, G, C, D) konkret repräsentiert?
Die Antwort darauf hängt natürlich von der Beschaffenheit der konkreten Maschine ab. Was hier einzig interessiert, ist die abstrakte Struktur der Repräsentation und diese ist definiert durch die Zellenstruktur des Speichers der konkreten Maschine. Die Zellenstruktur bzw. die Adressenstruktur der Maschine ist strikt durch das Prinzip der Identität geregelt. Eine Zelle, welcher Art auch immer, bietet Platz einzig für ein einzelnes Datum. Dies gilt für alle vier Typen von Daten: Stack, Graph, Code, Dump. Wäre dem nicht so, würde das System an seiner Widersprüchlichkeit zusammenbrechen.
Eine polykontexturale Maschine dagegen ist mit einer Vielheit von Identitätsverletzungen konfrontiert. Die besondere Härte dieser Verletzungen zeigt sich darin, dass sie schon auf der Ebene der natürlichen Zahlen aufzufinden ist. Diese Härtesituation vererbt sich nun auf Konzeptionen wie Adresse, Knoten, Wurzel, Element, Baum usw. usf. Selbst die Aussage "Es gibt Vielheiten des Anfangens" ist davon betroffen. Denn vorerst steht diese Aussage noch gänzlich neutral gegenüber der Aussage von Vielheiten an einem Ort im Sinne des Zugleichseins bzw. der togetherness.
Adressen sind im kenomischen Sinne nicht vorgegeben, sondern werden im Vollzug der Adressierung generiert. Adressen sind Deutungen von Möglichkeiten des Adressierens. Diese Situation ist realisiert in der Deutung der Trito-Zahlen durch verteilte Binärsysteme. Hier wird aber auch klar, dass die Konstruktion materiell nicht mehr auf einer mikro-elektronischen Ebene realisiert werden kann.
Die Struktur der Dissemination der Maschinen überträgt sich auf die Vermittlungsstruktur ihrer Programmierbarkeit. Die Programmiersprachen spiegeln in sich die Vermitteltheit der Maschinen wieder. Dies wiederum ist nur möglich im radikalen Sinne, wenn deren Logik, Arithmetik und Semiotik die zugrundeliegende Vermittlungsstruktur unterstützt. D.h., einzig im Rahmen eines polykontexturalen Formalismus ist eine genuine Programmierbarkeit vermittelter Maschinen im Sinne der Polykontexturalität erfolgreich zu realisieren. Die Grundstruktur einer Programmiersprache für polykontexturale Maschinen spiegelt die Struktur der Polykontexturalität ihrer Maschinen. Naheliegenderweise muss zwischen intra- und transkontexturalen Konzepten der Programmierung unterschieden werden.
Die intrakontexturalen Bestimmungen sind weitestgehend identisch mit den Bestimmungen wie wir sie von den existierendenProgrammiersprachen kennen. Eine Distribution dieser Programmiersprachen eröffnet als erstes zusätzlich zu ihrer Replikation in verschiedenen Kontexturen auch eine Verteilung verschiedener Programmiersprachentypen bzw. -Stile über die verschiedenen Kontexturen.
Die transkontexturalen Operatoren regeln die Interaktion zwischen den verschiedenen Programmiersprachen gleichen oder verschiedenen Typs. Die Hauptoperatoren dieser Interaktion sind die oben skizzierten Superoperatoren ID, PERM, RED und BIF. Diese Superoperatoren gelten in einer stabilen Komplexität der Verbundstruktur.
Zu diesen Superoperatoren sind zusätzlich die Operatoren zu beschreiben, die die jeweilige Komplexität und Komplikation eines Verbundsystems entwerfen und auffächern. Vorerst sind dies die Operatoren der Emanation EMAN und der Evolution EVOL. Der Operator EVOL entwirft einen neuen kontexturalen Horizont. Etwas technischer formuliert, setzt er eine neue Kontextur. In Analogie lässt er sich als SET-CONTEXTURE bezeichnen.
Jede Kontextur enthält als Beispiel ihre "data objects". Diese haben eine Baumstruktur. So sind "simple objects" disjunkt zu den "structures", die komplexe Objekte repräsentieren und "variables" sind eine Teilmenge der "simple objects" und nicht umgekehrt.
Die Notwendigkeit der Einführung einer simultan geltenden anderen Datenstruktur kann dann entstehen, wenn in einer interaktiven Situation für die eine Programmiersprache die "simple objects" als "complex structures" erscheinen oder umgekehrt, oder wenn simultan das was für die eine als "variable" für die andere Programmiersprache nicht nur als "constant" sondern sogar als "structure" erscheint oder gar als etwas weiteres. Damit das System, in dem intra-kontextural eine solche Situation entsteht, nicht einfach wegen Widersprüchlichkeit zusammenbricht, muss es die Möglichkeit haben, eine neue Kontextur setzen zu können. Kontexturen, selbst die Kontextur des Seins, sind nicht (vor)gegeben, sondern werden interaktiv gesetzt. Diese Setzung kann mit dem trans-kontexturalen Operator SET-CONTEXTURE geschehen. (Zur Setzungsproblematik, s. Claus Baldus, Partitives und distriktives Setzen, Meiner Hamburg 1982)
SET-CONTEXTURE hat die paradoxale Aufgabe, etwas das innerhalb einer Kontextur gilt zur Bestimmung einer neuen Kontextur ausserhalb des Regelsatzes des Herkunftssystems zu erheben. Andererseits ist auch die Kontextur von der aus eine andere gesetzt wird eine gesetzte und nicht einfach eine vorgegebene. SET-CONTEXTURE ist somit generativ und selbstapplikativ. Jedes Programmiersystem hat als Hauptkopf CONTEXTURE. Dieses Konstrukt lässt sich auch für die Interaktion zwischen verschiedenen Programmiersprachen innerhalb eines komplexen System einsetzen. Zum weiteren Verständnis von SET-CONTEXTURE kann es hilfreich sein auf die Funktion des "Workspace" in der Theorie elementarer formaler Systeme von Fitting hinzuweisen.
"We use the term work space to mean, loosely, what is known, what is available for us. Procedures are written "in" some work space."
"A similar situation of typed objects occurs in the definition of a work space (Fitting) in the theory of elementary formal systems (EFS).
A work space W consists of the following three items.
(1) A specification of a domain, the objects we are talking about.
(2) A list of identifiers, designed as reserved.
(3) A specification of what relations the reserved identifiers represent. We call the relations represented by the reserved identifiers the given relations of W.
We call a procedure statement acceptable (in a work space) if no reserved identifier occurs in the assignment position." Fitting, 1985., p.
Jeder Kontext, jedes Attribut und jedes Objekt einer Kontextur kann Ausgangspunkt für eine Kontexturalisierung sein. Das Objekt einer Kontextur wird gewissermassennach aussen geklappt womit es eine neue Kontextur entwirft. Der Mechanismus, der dies realisiert ist ausführlich dargestellt in dem Modell der Transformation von Sorten eines Universums einer Logik in neue Universen anderer mit der ersteren vermittelten Logiken.
Die Repräsentation von Ausdrücken zur Bearbeitung in einer Maschine haben ursprünglich die Form von Syntax-Bäumen. Eine polylogische G-Maschine realisiert entsprechend eine Distribution und Vermittlung solcher Bäume.
So hat etwa die Nachfolgeroperation SUCC, definiert als succ n = n + 1 den folgenden Graphen, gebildet mit der Operation add. Der Tag @ repräsentiert die Applikation.
Eine monoforme Distribution über zwei Kontexturen erfolgt nun naheliegenderweise als SUCC(2) mit succ1 n = n + 1 .simul. succ2 n = n + 1. Das Diagramm skizziert einige Aspekte der Distribution über zwei Kontexturen. Es ist damit ein gewisser Parallelismus der Nachfolgeroperation notiert, der noch keine Aussagen über die Art der Parallelität der Operatoren, Variablen und Konstanten macht.
Der Graph lässt, wie in anderen Beispielen vorgeführt, zwei verschiedene Realisationen zu. Einmal der rein parallele Verlauf in System1 und System 2. Dieser steht unter dem Superoperator ID. Desweiteren die interaktiven Abläufe, geregelt durch die Superoperatoren der Gabelung BIF, der Reduktion RED und der Permutation PERM. Damit ist nicht nur die isolierte Parallelität der Nachfolgeroperation angedeutet, sondern auch deren Nebenläufigkeit, Systemwechsel wie die Reduktion der Differenz.
Parallelismus ist der Graph Reduktion inhärent.
So liefert der Kombinator S automatisch eine Parallelisierung: Sxyz = (xy) (yz).
Dieser inhärente Parallelismus ist nun für eine Mehrprozessor-Parallelität in verschiedenen Ansätzen versucht und auch realisiert worden.
In Erweiterung dieses intra-kontexturalen Parallelismus lässt sich nun ein weiterer Typ der Graph Reduktion einführen, der die Erkenntnisse der distribuierten G-Maschinen ins Spiel bringt und damit die Einschränkungen der klassischen Modellierung umgeht. Die Ordnungsstruktur, die der Graph angibt, lässt sich auf verschiedene Kontexturen abbilden. Die hierarchischen Struktur des Graphen wird durch die entsprechende heterarchische Struktur verteilter Systeme modelliert. Damit wird der logische Zusammenhang des hierarchischen Graphen auf einen verteilten, d.h. heterarchischen Graphen übertragen womit der logische Zusammenhang, wenn auch in neuer Form und zwar durch die Vermittlungsbedingungen der Komplexion, garantiert wird.
Es handelt sich hier um ein Beispiel einer Applikation transklassischer Begrifflichkeiten und Methoden auf klassische Probleme (der Parallelisierung) und nicht um eine Applikation auf transklassische Problemkonstellationen. Die Strategie ist analog der Umdeutung von Sorten einer Mehrsorten-Logik in Kontexturen bzw. Universen einer polykontexturalen Logik.
Die Reihe: Sequentialisierung --> Parallelisierung wird um den Schritt der Dissemination erweitert:
Sequentialisierung --> Parallelisierung --> Dissemination.
Fx = f(f(f(x))) --> P3//P2//P1 (Fx) --> M1#M2#M3 (Fx)
(In einer anderen Terminologie hiess es 1992: Prolog --> PARLOG --> POLYLOG)
Dieser Fall führt in der Literatur zur Diskussion des "blockings and sparkings" von Prozessen. Im polylogischen Modell ist ein solcher Mechanismus nicht nötig bzw. wird durch einen weniger restriktiven Mechanismus realisiert.
Wie ersichtlich, werden die verteilten Programme von den jeweiligen Maschinen unabhängig voneinander realisiert. Die Resultate von M1 und M2 werden der Maschine M3, die in diesem Zusammenhang eine heterarchische Vermittlung von M1 und M2 leistet, übernommen und im eigenen Programm verarbeitet. Die Maschine M3 hat eine analoge Funktion im heterarchischen Kontext wie die hierarchische Funktion P3 im klassischen Kontext. M.a.W., jede dieser autonomen, jedoch vermittelten Maschinen übernimmt einen Job und führt ihn aufgrund des eigenen logisch-arithmetischen Apparates unabhängig aus. Die Übergabe der Resultate an die Maschine M3 durch die Maschinen M1 und M2 geschieht nach einem Konzept, das gänzlich verschieden ist vom Konzept etwa der Deponierung von Daten in einem gemeinsamen Speicher.
Jede Maschine hat ihren eigenen, zu den anderen Maschinen disjunkten Speicher. Ebenso hat jede Maschine ein Modell ihrer maschinalen Umgebung in sich, somit auch ein Modell des Speichers der anderen Maschinen. Ein Objekt ist hier wiederum nicht bloss in seiner Selbigkeit (Identität), sondern auch in seiner Gleichheit thematisiert bzw. im Gebrauch. Die Metapher ist hier nicht sosehr der Parallelismus, sondern die Interaktion und Kooperation von Prozessen. So schliesst die Übergabe von Daten etwa an die Maschine M3 nicht aus, dass diese Daten von M1 und M2 in einem anderen Zusammenhang bzw. eventuell sogar simultan in eine andere Verwendung eingebracht werden können. Die Autonomie der Maschinen erlaubt ein weit loseres Verhältnis von Kopplung und Entkoppelung als dies im klassischen Modell möglich ist.
Hier sei: a = fx und b = fx und c= f a b
Das klassische Schema der Parallelverarbeitung zeigt deutlich die Zwischenfunktion des Kommunikationsmediums als eigener Instanz der Organisation der Arbeit zwischen Agenten und Tasks.
"A task is executed by an agent. Typically an agent will be implemented by a physical processor. Agents are concrete pieces of hardware (we can point to one!), whereas a task is a virtual object (a piece of work to be done). An agent is employed if it is executing a task. An unemployed agent will look for a task to execute in the task pool which contains all the tasks awaiting execution."
"Synchronization between tasks is mediated entirely through the graph, so that the tasks do not communicate directly with each other at all." Peyton, p. 414
Das transklassische Modell der Parallelverarbeitung legt nahe, die Kommunikationsfunktion in die Vermittlungsfunktion des Graphen als Koordination der Tasks und Agenten zu verlegen. D.h., der heterarchische Chiasmus zwischen den Teilsystemen regelt und implementiert die Kommunikation direkt durch die Graphen und nicht indirekt über ein zusätzliches Kommunikationsmedium.
Die Transjunktionen zwischen den Teilsystemen (Agenten, Tasks, Graphen) basierend auf dem chiastischen Mechanismus der Interaktion. In diesem Modell fungieren auch die Agenten (Prozessoren) nicht einfach isoliert parallel, sondern stehen zueinander auch physikalisch als Polyprozessorsysteme miteinander in einer Interaktion.
Unabhängig davon wie ein solches Modell weiter spezifiziert und realisiert werden sollte, scheint es eine direktere Implementierung von Parallelprozessen zu ermöglichen als dies durch das klassische Modell aufgrund seines Kommunikationsmediums möglich ist.
Ein weiteres Beispiel zur Plausibilisierung der Idee der PolyGraph-Reduktion lässt sich im Anschluss an die Implementierung des PR-Kombinators als Explikation der Proemialrelation durch Thomas Mahler (Morphogrammatik 1992) geben.
PR ( R1, R2, x1, x2) ==> CONS (parEval1, parEval2)
Im Sinne der oben skizzierten polylogischen Graph-Reduktion lässt sich die Parallelisierung in die Heterarchie des Vermittlungsgraphen abbilden womit auch die Operation CONS zu einem Parallelprozess wird, der hier die Funktion hat, die zwei anderen Prozesse zu vermitteln. D.h., dass auch der Operator CONS als eine Realisation der Operator/Operand-Differenz distribuiert wird. Die Operanden von CONS sind parEVAL1 und parEval2.
Zusätzlich zum allgemeinen Schema der polylogischen Graph-Reduktion für das die Vermittlungsbedingungen kategorial eingeführt sind, ist für die Modellierung des Proemialoperators zusätzlich die intrikate Situation zu beachten, dass der Operand von R1 mit dem Operator R2 koinzidiert. Diese Koinzidenz wird als Zeigergleichheit, geregelt durch EQ, interpretiert, womit im klassischen Modell die widersprüchliche Situation entsteht, dass das selbe physikalische Objekt (Zelle) als Adresse für zwei Objekte fungiert, die sich sogar in ihrem Typ als Operator und als Operand voneinander unterscheiden.
Wie dargestellt, lässt ein arithmetisiertes Morphogramm simultan verschiedene Deutungen realisieren. In dem Sinne, dass an einem Ort mehrere computionale Ereignisse (Poly-Events in Konfigurationen) zugleich sich ereignen können, lässt sich ein solches Morphogramm in verschiedene miteinander vermittelte arithmetische Komponenten zerlegen. Diese ermöglichen es am selben Ort eine Gleichheit von Operator und Operand zu realisieren.
In einem weiteren Schritt lässt sich die PolyGraph Reduktion, wie sie oben skizziert wurde, in folgende vertrautere Form bringen, womit wir wieder bei der Figur des Chiasmus angelangt sind. Die Umtauschrelation zwischen Operand1(xi) und Operator2 (Ri) ist im obigen Beispiel einer Modellierung einer parallelen arithmetischen Operation sehr lose definiert. Im Gegensatz dazu ist die Umtauschrelation der Proemialrelation selbst als widersprüchliche Zeigergleichheit modelliert.
Die Mehrdeutigkeit der Adressen" fungiert als Basis der Distribution von Objekten und damit als Ermöglichung der Realisation des Zugleich von Operator und Operand (als Interpretation dieser Distribution).
Die für die Vermittlung von Operator und Operand relevante Zeigergleichheit ist im transklassischen Modell von ihrer Verbindung mit der Identität zu lösen. Zeigergleichheit kann hier nicht mehr identifiziert werden mit physikalischer Äquivalenz wie sie durch den Operator EQ bestimmt wird. Denn unter diesem Gesichtspunkt wird automatisch ein Widerspruch erzeugt. Es handelt sich vielmehr um eine Deutung, d.h. um eine Interaktion, die den Prozess des Adressierens dynamisiert. Insofern ist der Leitfaden weniger in einer syntaktischen Äquivalenz als in einer Bisimulation zu finden.
Diese SKIZZE ist, um es nochmals zu betonen, nicht der Ort, diese Verhältnisse formal exakt darzustellen.
Selbst-Applikation. Die Verwechslung von Selbst und Anderes. Dass Y auf sich selbst angewandt werden kann, bedeutet einzig, dass Y in zwei Funktionen, in zwei verschiedenen Rollen, einmal als Operator und einmal als Operand in einer Operation auftreten können. Diese Eigenschaft, die keineswegs eine echte Selbst-Applikation darstellt, gibt den Basis-Mechanismus zur Definition der Rekursion an. Diese wird oft in irreführender Weise ebenso als Selbst-Applikation, Selbstaufruf einer Funktion interpretiert, oder gar propagiert. Der Funktor ruft jedoch nicht sich selbst auf, sondern eine Funktion, geregelt durch die Schrittzahl der Rekursionsschritte. Diese kleine Inszenierung der Als-Funktion hat jedoch schon enorme formale Relevanz, sowohl in der Mathematik wie in der Informatik und der Programmiersprachen, insb. LISP.
Abstrakt betrachtet hat eine Datenstruktur oder generell eine Programmiersprache als Ganze eine hierarchische Struktur mit einem Wurzelpunkt als ihren Anfang. Dieser Anfang als solcher, oder die jeweiligen konkreten Anfänge einer Realisation eines Programms, haben einen physischen Ort in einer Maschine. Dieser Ort hat somit eine dezisive Auszeichnung anderen Orten gegenüber. Da dieser physische Ort durch eine Materie realisiert wird, die dem Prinzip der Identität untersteht, ist es gewiss unmöglich, dass dieser Ort zugleich funktional sowohl ausgezeichnet wie abgeleitet ist. Dies wäre nur möglich, wenn dieser Ort eine Vielheit von Anfängen einräumen könnte.
Angenommen, dieser Ort wäre gekennzeichnet durch die Interaktion von zwei differenten Materien, dann könnte jede für sich und simultan zur anderen eine Basis abgeben für ihre eigene Prozessualität und Datenstruktur, ohne dass das Gesamtsystem einem Widerspruch ausgesetzt wäre.
Die Interpretation der Tritogramme durch Binärsysteme kann die Basis abgeben, auf die sich die verteilten Kaluzhnin-Graph-Schemata beziehen. So wie die Kaluzhnin-Graphen die Menge der natürlichen Zahlen zur Basis haben, haben die Poly-Graph-Schemata die durch Binärsysteme interpretierten Tritogramme zur Basis. D.h., die Basis bilden die Binärsysteme, fundiert in der Trito-Struktur der Kenogrammatik.
Diese geben das generelle intra-kontexturale Verhalten verteilter Arithmetiken an. Die transkontexturalen Regel, die zwischen den Arithmetiken gelten, geben das Verhalten des Gesamtsystems als System der Interaktion an
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