TEIL C: Towards a Formal Model of TransComputing

Es ist also nicht so sehr Kroneckers Ausspruch: Die ganze Zahl schuf der liebe Gott; alles übrige ist Menschenwerk", der naiv ist, als vielmehr der Glaube, daß der Tod Gottes für die Arithmetik ohne Folgen geblieben sei. Kaehr 1982

Das Abstract Model of TransComputing wie es in Teil A dargestellt wurde, gibt noch keine Auskunft darüber, worauf sich das Modell bezieht, welches das Material seiner Berechnungen ist. Das Modell ist skizziert, nun muss gewissermassen der abstrakte Datentyp bestimmt werden, der bearbeitet werden soll.

Ebenso ist die logische Struktur der Programmiersprache des TransComputing zu bestimmen. Aus dem skizzierten Modell des TransComputing ergibt sich jedoch zwangsläufig, dass das formale Modell der Berechenbarkeit nicht mehr klassisch mathematisch sein kann. Insbesondere die Argumentationen zur Semiotik, Kenogrammatik und der Distribution rechnender Räume" zeigen deutlich in welche Richtung das Paradigma der Mathematik verlassen wird. Die Grundthese ist dabei, dass Computerwissenschaft im Sinne des TransComputation nicht ein Teilgebiet der Mathematik sein kann. Das Paradigma der Mathematik, in welcher Ausprägung auch immer, ist nicht in der Lage, die Grundbegrifflichkeiten, Methoden und Strategien für das TransComputing bereitzustellen. Wenn die Limitationstheorem die Grenzen der mathematizing power of homo sapiens" (Emil Post) markieren, dann eröffnet das Modell des TransComputing einen Horizont des Denkens jenseits der Mathematisierung.

Aus dieser Einsicht heraus entsteht die Notwendigkeit der Konzipierung eines neuen transklassischen Formalismus. Dabei ist als Erstes eine neue polykontexturale Arithmetik zu skizzieren. Selbstverständlich ist dies keine leichte Aufgabe und es kann hier auch nur eine einführende Idee gegeben werden. Andererseits sollte nicht vergessen werden, dass je nach Stufe der Modellierung, die verschiedensten mathematischen Methoden klassischer Art für eine schrittweise Erforschung des TransComputing fruchtbar gemacht werden können. Aus all dem Gesagten sollte auch deutlich sein, dass eine Modellierung der gesamten Konzeption im Sprachrahmen der klassischen Mathematik, Logik und Semiotik durchaus sinnvoll ist und gewiss eher machbar, als die Konstruktion gleich einer neuen Mathematik.

Ebenso ist es gewiss strategisch und wissenschaftspolitisch sinnvoll, von dem philosophischen Anspruch abzusehen, ihn zumindest temporär auszublenden und jedenfalls nicht zu betonen, um auf einer pragmatischen Ebene den Entwurf voran bringen zu können. Die folgenden Erweiterungsversuche von Grundbegriffen und basalen Methoden der Mathematik, lassen sich nach dem oben gesagten, durchaus in aller Neutralität den gestellten Ansprüchen gegenüber lesen und auf die geleisteten Konstruktionen hin überprüfen. Ohne in eine philosophische und wissenschaftspolitische Grundlagendebatte eintreten zu müssen ist es möglich, die Konstruktionsideen nachzuvollziehen und einer Einordnung in andere Strömungen wie auch eine Bewertung zu unterziehen. Immerhin gilt nach wie vor Die ganze Zahl schuf der liebe Gott; alles andere ist Menschenwerk." (Kronecker) Dies gilt auch für das Problem einer Einführung des TransComputing, wenn auch in schwierigerer Situation Angesichts seines vorzeitigen Todes.

Von grosser Wichtigkeit haben sich Begriffsbildungen aus der mathematischen Kategorientheorie erwiesen.

Computer scientists have far more flexible view of formalism and sematics than traditional logicians. What is regarded as a semantic domain at one moment may later be regarded as a formalism in need of semantics."

M.P. Fourman, Theories as Categories, in: Category Theory and Computerpogramming, Springer LNCS 240, p. 435, 1986

Logiker allerdings, ob nun traditional oder nicht, wissen, dass sie es in der Logik mit einer Identitätstheorie zu tun haben, basierend auf der Identität der Zeichen ihrer Formalismen. Computerwissenschaftler dagegen haben bisher noch keine Logik des regarded as", etwa von state und transition, geliefert.

Categories. A category axiomatizes the abstract structural properties of sets and mappings between sets. Sets are considered as the objects and mappings are called the morphisms or arrows of the abstract category of sets. The language of category theory allows us to talk about arrows, their sources and targets and about their composition (o), of arrows, but not about the internal construction of sets and the nature of their elements. In particular, we cannot talk about the application "f (x)" of a map to an element of a set nor about the way f (x) is evaluated. One might say that sets and arrows are considered atomic particles of category theory and everything that is to be said about sets and mappings must be expressed solely in terms of the notion of composition, source and target.

To every object A, the existence of a particular identity arrow idA (sometimes written as 1A) is postulated. Categorical language is too weak to axiomatize it using an equation such as e.g. "idA(x) = :x", for this refers to elements x inside the object A and to the application f (x) of f to x. In categorical language rather, idA must be characterized as an arrow satisfying:

Note that composition is to be read from right to left - in accordance with traditional mathematical habit.

Definition 3.1. A category C consists of a class CO of objects A, B, C, . .. and a class Cm of morphisms or arrows f,g,h,... between these objects together with the following operations:

associating with each arrow its source (domain), resp. its target (codomain), and with every object A its identity arrow idA. Moreover there is a partial operation (o) of composition of arrows. Composition of f and g is defined whenever codom(f ) = dom(g). The result is a morphism go f with dom(g o f ) = dom( f ) and codom(g o f ) = codom(g). The following lauls have to be satisfied wenever the composition is defined:

3.1.1. Commutative Diagrams. Many notions have their origin in the standard example, the category of sets and mappings, so we borrow notions, symbols and graphical visualizations from there. For instance, we write f: A --> B, if f is a morphism with dom(f ) = A and codom(f ) = B. We use uppercase letters for objects and lower case letters for arrows.

It is convenient to draw objects as points and morphisms as arrows between these points. Such a representation is called a diagram. Often, compositions of arrows are not drawn - their presence is implied. A path of arrows represents the composition of the arrows involved. Whenever there are two different paths from an object A to an object B that enclose an area, it is often implied that their compositions are equal. One says that the diagram (or parts of it ) commutes. To emphasize this, a circle is sometimes drawn inside the area whose bounding paths are assumed to commute."

An important fact is that any two terminal objects (as well as any two initial objects) in a category are uniquely isomorphic. In other words, if T and T` are two terminal objects, then there is a unique isomorphism between the two. Because of this, it is customary, to collapse all terminal objects into a representative and talk about the terminal object.

Daher wird ein Repräsentant, hier 1, gewählt, der als initiales Objekt fungiert.

The categorical approach to characterize objects and morphisms in terms of their relation to other objects and morphisms has the particular consequence that universal properties specify objects only up to isomorphism".

Definition: Objects A and B are isomorphic if there exists morphisms f: A --> B, f*: B --> A such that f*.f=iA and f.f*=iB

Diese Abstraktheit, die über die Isomorphiebildung produziert wird, ist es, die die Kategorientheorie interessant macht als generelle und unifizierende Konzeptualisierung mathematischer Strukturen.

Andererseits ist die Kategorientheorie weitgehend konstruktiv und lässt sich direkt als Programmierungsanweisung im Sinne von ML lesen.

Die Kategorientheorie basiert auf der Unterscheidung von Objekten und Morphismen (zwischen diesen Objekten). Es handelt sich somit um eine dualistische Theorie, eine Theorie der DYADE, bzw. der TWO (Peirce).

Ihr Ziel ist jedoch die Monas. Interessant bzw. konsequent ist, dass diese Tendenz sich nicht nur der Möglichkeit nach, sondern auch tatsächlich auf zwei Weisen realisiert.

Für jede mathematische Theorie definiert man sich zunächst Objekte und dann zur Beschreibung dieser Objekte i.a. zulässige Abbildungen, die man Morphismen nennt. Dieses Vorgehen wird durch den Begriff der Kategorie exakt erfasst."

(2) einer Klasse paarweise disjunkter Mengen {A,B}C zu jedem (A, B)e /C/ x /C/ (die Elemente von {A,B}C heissen Morphismen von A nach B) und

Es wird auch klar darauf hingewiesen, dass eine Mengenlehre zugrundegelegt wird, "die es gestattet den Begriff der Klasse exakt zu fassen, ..." Da auch dies nicht genügt, wird der Objektbegriff noch um den Begriff des Konglomerats erweitert. "Jede Menge ist eine Klasse und jede Klasse ein Konglomerat." Ein Konglomerat ist eine Zusammenfassung von Klassen.

It is part of this guidline that in order to understand a structure, it is necessary to understand the morphisms that preserve it. Indeed, category theorists have argued that morphisms are more importand than objects, because they reveal what the structure really is. Moreover, the category concept can be defined using only morphisms. Perhaps the bias of modern Western languages and cultures towards objects rather than relationships accounts for this." Joseph Goguen

Diese Position ist stärker computerwissenschaftlich motiviert, denn grundlagentheoretisch. Denn es fehlt eine fundierende Theorie der reinen Morphismen, die nicht mengentheoretisch ist. Es kann ins Spiel gebracht werden, dass sich dieser Ansatz eher auf die Kombinatoren der kominatorischen Logik bezieht denn auf Mengen und Klassen. Die Verbindung zu funktionalen Programmiersprachen wie ML ist hier wichtiger, denn der Versuch einer Grundlegung. Es wird ein recht pluralistischer und pragmatischer Standpunkt eingenommen.

"I think it is fair to say that most mathematicians no longer believe in the heroic ideal of a single generally accepted foundations for mathematics, and that many no longer believe in the possibility of finding "unshakable certainities" upon which to found all of mathematics." Goguen

Meistens wird dann allerdings eine sehr beladene mehrsortige Prädikatenlogik aufgefahren.

1.2.5 Naheliegender Sprung heraus aus dem Dualismus von Objekt und Abbildung

Hier drängt sich selbstverständlich schon die Frage auf, wie weit es möglich ist, den Dualismus von Objekt und Morphismus zu verlassen. Ein solcher Sprung aus dem Dualismus müsste simultan in beide Richtungen Wirkung zeigen, sowohl in höhere Abstraktheit wie in tiefere Konkretheit des Formalismus. Dieses Programm habe ich 1976 in meiner Arbeit Materialien" als Dissemination von Formalismen skizziert.

Ein abstrakterer Formalismus müsste jenseits der Charakterisierung bis auf Isomorphie" verortet sein womit er allerdings zugleich auch wesentlich konkreter konzipiert wäre.

Die leitende Metapher für die Morphismen der Kategorientheorie ist nach wie vor die Brücke: die Brückenbildung mit gegebenen Pfeilern über die die Brücke geschlagen wird; egal in welcher Materialität. Einmal werden die Pfeiler fokussiert, dies entspricht der Fokussierung auf die Objekte, dann wird die Brücke als Überbrückung betrachtet, dem entspricht die Thematisierung der Morphismen. Beide Fokussierungen sind legitim. Aus logischen Gründen ist es jedoch der Kategorientheorie nicht möglich, beide Fokussierungen, die auf die Objekte und die auf die Morphismen, simultan zu vollziehen. In anderer Terminologie ist es der Empfänger und Sender verbunden mit (s)einem Kanal bzw. seiner Kodierung. Auch hier: der Prozess (der Brückenbildung bzw. Überbrückung, der Morphismen) erlischt im Produkt.

Der in den Materialien" 1976 als Dissemination von Formalismen gemachte Hinweis, intendiert eine Differenz in der Form, er produziert eine Strukturdifferenz. Damit wird die Form eines Formalismus in einer Struktur verortet, die jenseits von Form und Inhalt fungiert. Dies erweist sich als eine notwendige, wenn auch nicht hinreichende Bedingung für eine stufenweise Konkretisierung des Formalen im transklassischen Sinne.

Diesen Gedanken einer Stukturdifferenz im Bereich des Formalen, basierend auf der Morphogrammatik Gotthard Günthers, habe ich in den frühen 70ern als Kritik am französischen Strukturalismus, der, wenn es weit geht, auf einem Relationalismus a la Burbaki basiert, angebracht. Da zu dieser Zeit an der FU Berlin, gerade der französische Strukturalismus rezipiert wurde, war es nicht möglich, einen über den Strukturalismus hinausgehenden Schritt zu akzeptieren. Strukturalismus und später die Arbeiten Derridas, dienten einer Emanzipation von der Frankfurter Schule. Für formallogische Argumentationen fehlte jeglicher Hintergrund. Leider hat sich daran bis heute (2002) nichts wesentlich geändert.

Unter der Voraussetzung der Dichotomie von Objekten und Morphismen lassen sich aufgrund der DiamondStrategien vier Positionen erarbeiten:

3. Weder-Noch: Morphogrammatik als Inskription der Prozessualität der Funktoren

4. Sowohl-als-Auch: Polykontexturale Vermittlung gegenläufig begründeter Kategorientheorien in einer Poly-Kategorientheorie.

ad 1: Diese Position ist wesentlich in der Mengenlehre fundiert, allerdings als ein Versuch über ihre Begrenzungen hinauszukommen.

ad 4: Diese Vermittlung von Kategorientheorien basiert auf deren inverser Begründung und ist nicht eine Vermittlung dualer Kategorien, denn diese Dualität ist innerhalb einer Kategorientheorie definiert und nicht zwischen den Frameworks der verschiedenen Kategorientheorien.

In der Praxis, d.h. in der Anwendung der Kategorientheorie auf Bereiche ausserhalb grundlagentheoretischer Überlegungen, macht sich der Unterschied in der Begründung nicht bemerkbar.

Ein Schritt bzw. Sprung aus dem Dualismus von Objekt und Morphismus führt zur Morphogrammatik als der Inskription der Prozessualität von Funktoren der Kategorientheorie. Ein anderer Sprung führt zur Vermittlung der beiden Paradigmen in einer gegenläufigen PolyKategorientheorie.

Die Kategorientheorie sollte weniger als eine Theorie denn als eine Tätigkeit eingeführt werden. Es geht um eine kategoriale Thematisierung von reellen und ideellen Objekten bzw. Morphismen. Die Morphismenbildung ist eine Aktivität. In diesem Sinne ist die Kategorientheorie Produkt einer Deutung, und Interaktion und verlangt eine Positionierung von der aus die Kategorisierung geschieht.

Als Tätigkeit verstanden, wird ersichtlich, dass Objekte" vieldeutig im polykontexturalen Sinne sein können. Verschiedene Thematisierungen des selben" "Objekts" führen zu einer Polykontexturalisierung der Identität des Objekts. M.a.W., es gibt kein Objekt ausserhalb der Thematisierung. Insofern kann die einfache Identität idA nicht einfach vorausgesetzt werden.

Thematisierung ist nicht notwendigerweise Deutung von etwas Vorgegebenem, sondern auch Entwurf von Neuem. Bei Rosen wird die Thematisierung auf die Observablen geschoben, denn es geht um die Deskription natürlicher Systeme, der Sprachrahmen selbst wird dabei nicht reflektiert. Vom Standort der PKL ist jedoch die Kategorientheorie das Objekt und muss entsprechend erweitert werden.

Die Verschiedenheit der Thematisierung unabhängig davon ob die Bereich isomorph sind oder nicht, wird durch die PR geregelt und nicht durch Objekt und Morphismus oder gar eine deskriptive Inhaltlichkeit.

Angenommen es gibt" Objekte und Morphismen, dann besteht die Tätigkeit der Kategorisierung im Sinne der Kategorientheorie darin, diese zwei Etwase miteinander in Verbindung zu bringen. Geschieht dies unter mono-kontexturaler Absicht, dann entsteht die klassische Kategorientheorie.

Morphismen und Objekte müssen nicht unter identitätstheoretischen Gesichtspunkten bestimmt werden, sie können ebenso gut als poly-kontexturale, d.h. als komplexe Gebilde fungieren und so zur polykontexturalen Kategorientheorie führen.

Die Begriffe Objekt und Morphismus konstituieren eine Kategorie. Diese ist konzeptionell einzig, d.h. es gibt eine und nur eine Konzeption der Kategorie. Verschiedene Notationen einer Kategorie sind konzeptionell isomorph. Daher wird die "Institution" Kategorie auf die Einzigkeit der 1 bezogen.

Die Konzeptualität der Kategorientheorie ist selbst eine, in der Eins fundierte, Kategorie.

Wird unter der Kategorientheorie eine Tätigkeit und nicht nur ein Notationssystem verstanden, dann ist die Unterscheidung in der Fokussierung bzgl. der Objekte bzw. der Morphismen der Kategorientheorien wesentlich.

Diagramm 94

Conceptual Graph für gegenläufige Kategorientheorien

0.6. Le nombre, evidement, regle l´economie, et sans doute est-ce la ce que Luis Althusser aurait appele la determination en derniere instance" de sa suprematie. L´ideologie des societes parlemantaire moderne, s´il y a une, n´est pas l´humanisme, le Droit du Sujet. C´est le nombre, le comptable, la comptabilite."

Zum Datentyp der natürlichen Zahlern nat gehört eine Menge von Daten N=(0,1,2,3,...). Sie besitzt in 0 ein ausgezeichnetes, kleinstes" Element und ist total geordnet, d.h. jede natürliche Zahl n besitzt in n+1 einen direkten Nachfolger, der mit SUCC(n) bezeichnet wird.

Gibt man der Menge der natürlichen Zahlen den Namen nat, womit die Sorte oder der Typ der Daten benannt ist, und betrachtet man 0 als konstante Operation sowie den Übergang zum Nachfolger als einstellige Operation SUCC, so lässt sich diese Situation formalisieren:

Im Gegensatz zu 0 ist SUCC kein direkter Zugriff auf ein Element, sondern liefert natürliche Zahlen als Werte (nat als Ziel des Pfeiles) abhängig von den natürlichen Zahlen im Argument (nat als Quelle des Pfeiles)." Kreowski, p. 21

Es ist nicht nötig, die 0 als Element im Gegensatz zur Abstraktheit der SUCC zu bestimmen. Als Ur-Quelle, bzw. als Anfang ist sie genauso abstrakt zu verstehen wie die SUCC Operation; eben als Operation des Anfangs. Welches Element, ob die Null oder die Eins usw. dafür einsteht, ist Nebensache.

Die Einführung der Natürlichen Zahlen wird durch eine doppelte Ordnungsrelation geleistet. Wobei die erste den speziellen Charakter einer initalen Ordnungsrelation mit der NULL als initialem Objekt hat.

Es handelt sich hiermit um einen höchst unvollständigen Chiasmus, der sowohl in Richtung auf die Umtausch- wie auf die Koinzidenzrelation und ihrer Verortungen erweitert werden kann. Wie dies zu geschehen hat, wird gezeigt, nachdem ich einige weitere Konzepte der Charakterisierung der Natürlichen Zahlen eingeführt und als Dekonstruktionsmaterial zusammengetragen habe.

Ausführlichere kategorientheoretische Charakterisierung der Natürlichen Zahlen

such that for all objects A and all morphisms a: 1 --> A, h: A --> A there exist a unique morphism f: N --> A making commute the diagramm NN.

Daher wird ein Repräsentant, hier 1, gewählt, der als initiales Objekt fungiert.

Path: maya!anarch!horga!Germany.EU.net!mcsun!uunet!noc.near.net!news.bbn.com!olivea!charnel!rat!usc!wupost!micro-heart-of-gold.mit.edu!news.media.mit.edu!minsky

References: <1992Dec1.215324.300@galois.mit.edu> <1992Dec1.233500.4385@guinness.idbsu.edu> <92336.202220RVESTERM@vma.cc.nd.edu>

In article <92336.202220RVESTERM@vma.cc.nd.edu> <RVESTERM@vma.cc.nd.edu> writes:

>on grammar tests in sixth grade, it was made abundantly clear that

Sorry, but yes, this is Russell and Whitehead's definition. It's not

quite as bad as it looks because the first 'three' is being defined as

a formal term, whereas the second 'three' is in effect a different

word that might be defined as "your favorite way of recognizing when a

As for the grammar-school teacher, perhaps children should be informed

that the same "speech word" is often used to mean several different

Words should be our servants, not our masters. ("The Society of Mind".)

Als komplementäres Interesse zur Morphismenbildung und ihrer Abstraktionsleistung, habe ich 1976 die Idee einer Dissemination von formalen Systemen angeführt. Diese Konzeption einer Disseminierung nimmt die Idee der Distribution logischer Systeme von Günther und die Idee der Natural Number Notational Systems (NNNSs) von Yessenin-Volpin auf. Philosophisch ist sie von der Grammatologie Derridas und deren Dekonstruktion der Linearität geleitet. All dies ist auf dem Hintergrund der Tradition der Logikforschung und der damals gerade entstehenden neuen heterodoxen Logiken und Methoden der Formalisierung in der Logik, Mathematik, Linguistik, Semiotik und Informatik zu betrachten.

Das ProemialSchema lässt sich nun wie folgt für die Einführung polykontexturaler natürlicher Zahlen interpretieren.

Jeder Anfang ist auch ein Ende. Es gibt keinen als Einzigen ausgezeichneten Anfang. Es gibt keine Auszeichnung von Anfängen; kein hieros der archä.

In komplexen Systemen ist jede Bestimmung, jede Unterscheidung, jede Anfangsetzung überdeterminiert und vermittelt mit anderen, entgegengesetzten und gegenläufigen, dualen Bestimmungen. Jede Auszeichnung ist eine Diskriminierung und jede Diskriminierung eine Auszeichnung - und weder noch.

Zwischen allen Komponenten der Kategorie je level besteht ein Chiasmus. Nicht alle sind in dem Diagramm eingezeichnet.

Die folgenden Diagramme sind Kurz-Versionen der chiastischen Verhältnisse, basierend auf dem allgemeineren Diagramm.

Der Anfang NULL, dargestellt als 1, ist eine Natürliche Zahl. Er ist fundiert in den Natürlichen Zahlen N. Der Anfang NULL eröffnet die Reihe der Natürlichen Zahlen. Es gibt, je System, einen und nur einen Anfang wie auch immer er dargestellt wird.

Zugleich gibt es für jedes System einen anderen Anfang in einem anderen dazugehörenden System.

Das Ende des Anfangs Null fundiert einen anderen Anfang Null im dazu passenden anderen System.

Beide Anfänge sind als Anfänge kategorial gleich, sie sind Anfänge und sonst nichts; zwischen ihnen besteht eine Koinzidenzrelation.

Beide Enden sind als Enden kategorial gleich, sie sind Enden und sonst nichts; zwischen ihnen besteht eine Koinzidenzrelation.

Zwischen dem Ende des einen und dem Anfang des anderen (Systems) besteht jeweils eine Umtauschrelation.

Die Morphismen, Pfeile, bzw. Systeme sind über 2 Orte verteilt, jedes System hat seine je eigene Positionalität und es gibt eine Vielheit von Systemen; sie sind positional verschieden.

So wie jede Zahl n aus N als Anfang fungieren kann, kann auch jedes durch diesen Anfang ermöglichte Ende als Anfang eines anderen Endes fungieren.

Durch diese gegenseitige und gegenläufige Fundierung der Anfänge und der Enden wird die Diskontexturalität und Irreduzibilität der Einführungsregel des jeweiligen arithmetischen Anfangs gewährleistet.

Diese Anfänge sind nicht in einer Isomorphie aufzuheben; sondern sind chiastisch vermittelt, d.h. sie sind gleich (identisch) und verschieden (divers) zugleich.

Regel1 bedeutet: Es kann mit einem Anfang 1 die Reihe der Natürlichen Zahlen gestartet werden. Alle folgenden Zahlen, generiert durch die Regel2, sind in diesem Anfang fundiert. Regel3 wird dann bedeuten, es gibt nur diese und keine anderen Natürlichen Zahlen, als die durch die Regel1 gestarteten und durch die Regel2 durch Iteration generierten Zahlen bzw. genauer: Objekte. Und diese Objekte sind isomorph zur Reihe der Natürlichen Zahlen und wir nennen sie DIE Natürlichen Zahlen.

Daraus folgt, dass die chiastische Vermittlung der Anfänge zu einer Distribution bzw. Dissemination der Reihe der Natürlichen Zahlen führt, die wegen der gegenseitigen Fundiertheit der Reihen nicht in einer Isomorphie aufgeht. Durch die Dissemination ist es möglich, Reihen Natürlicher Zahlen bis auf beliebige Konkretion hin zu spezifizieren - und nicht bloss bis auf Isomorphie.

Es entspricht der Dialektik von Anfang und Ende, dass es für einen Chiasmus keinen Anfang und kein Ende als initiales und als finales Objekt gibt.

Es sind Entscheidungen der Modellierung, wenn irgend eine endliche Verkettung von chiastischen Operatoren betrachtet wird und die einzelnen Ordnungsrelationen bzw. Morphismen bzgl. ihrer Positionalität numeriert werden. Und damit adhoc ein Anfang gesetzt wird.

N fungiert hier in doppelter Weise, einmal als Anfang N, einmal als Ende N. Damit ist die Distribution und Vermittlung der SUCC Funktion über 2 Positionen durch Umtausch und Koinzidenz naheliegend als Chiasmus zu konstruieren.

Entsprechend verläuft die Proemialisierung der SUCC-Operation bzgl. NULL. Die Gesamtschema ergibt sich aus seinen Teilen.

Zwischen den Systemen Ni und Ai, i=1,2 besteht ein Isomorphismus im klassischen Sinne. Zwischen den Systemen S1 und S2 besteht ein Heteromorphismus im Sinne einer chiastischen Separation.

Je Arithmetik-System gilt die Isomorphie zur abstrakten Charakterisierung der Natürlichen Zahlen.

Zwischen den Arithmetik-Systemen gelten die chiastischen Heteromorphismen zur Separation der Systeme der Natürlichen Zahlen.

Die Gesamtkonstruktion ist chiastisch, d.h. geregelt durch Ordnung-, Umtausch- und Koinzidenzrelation verteilt über Orte.

Das Schema N (Natural Numbers) mitsamt seinen Isomorphismen wird distribuiert und nicht ein weiteres zusätzliches isomorphes A-System.

Jedes einzelne distribuierte N-System hat seine je eigenen Isomorphismen zur Charakterisierung seiner eigenen Objekte.

Durch ihre Verortung erhalten die N-Systeme eine Konkretion, die von der klassischen Charakterisierung bis auf Isomorphie" grundsätzlich verschieden ist.

Zwischen distribuierten N-Systemen herrscht dann ein Isomorphismus, wenn von deren Verortung abstrahiert wird.

Diagramm 103

Verteilung zweier Conceptual Graphs für N-Systeme

Zusätzlich zur kategorientheoretischen Darstellung wird beim Conceptual Graph auch die Unizität der Systeme explizit notiert.

Die Idee des Heteromorphismus generiert vorerst zwei wesentliche Unterscheidungen: Wiederholung und Interaktion.

Alle kategorientheoretischen Grundbegriffe und Konstruktionen werden als gefärbte über verschiedene Orte verteilt. Es gibt somit eine Vielheit von terminalen/finalen Objekten, von Morphismen, Funktoren usw. je Ort.

Desweiteren werden neue Konzeptionen generiert, die mit der Metapher des Sprunges bzw. des transkontexturalen Überganges verbunden sind.

Mag sein, dass der eigentliche Clou an der Konstruktion, den ich durchaus als Einsicht erlebte, bei der Darstellung durch die Diagramme, zumindest wenn sie als Resultat und nicht als Prozess gelesen werden, verloren geht.

Die wesentliche Einsicht besteht darin, dass von den Zahlen bzw. den Zahlobjekten abstrahiert werden muss, wenn die Sprechweise von Anfängen und Enden eingeführt werden soll. Es ist ja nicht irgendeine der natürlichen Zahlen ein Anfang oder ein Ende. Diese Würde kommt den Zahlen nicht zu. Dies gilt auch schon für die klassische Formalisierung der natürlichen Zahlen insofern als nicht die Zahlobjekte auf Konkretion hin, sondern einzig auf Isomorphie hin bestimmt werden.

Dass sich die Griechen mit dem Anfang der Zahlen schwer getan haben, bezeugt, dass sie Mathematik betrieben haben und nicht Rechenkunst. Für die Griechen gab es keine Null und auch die Eins war keine Zahl, sondern das Mass der Zahlen. Und entgegen der Denkweise der Neuen Wilden, ist festzuhalten, dass das was das Mass einer Sache ist nicht selbst diese Sache ist. Natürlich haben sie gewusst, dass ein (1) Liebhaber zu haben mehr ist als keinen (null) zu haben. Doch dies gehört zur Rechenkunst, wie das Kartoffelzählen, und nicht zur Mathematik.

Die griechische Mathematik hat sich dann mit dem Anfang und dem Ende als Unendlichkeit beschäftigt. Der Gegensatz zum Anfang ist jedoch nicht das Unendliche sondern das Ende. Anfang und Ende bestimmen somit die Natürlichen Zahlen. Und dies noch vor der Unterscheidung der Zahlen in Gerade und Ungerade.

Die natürlichen Zahlen in polykontexturalen Systemen, haben als primäre Bestimmung die Unterscheidung Anfang/Ende. Erst sekundär die von Gerade/Ungerade. Und die Anzahl der Zahlen, die Mächtigkeit einer Menge, würde man heute sagen, ist tertiär.

Die polykontexturale Zahlentheorie verdankt sich somit der Unterscheidung von Anfang und Ende im Bereich der Zahlen.

Diese Unterscheidung wiederum wäre gänzlich unsinnig, würde sie isoliert betrachtet und hypostasiert. Es gibt für die Zahlen keine letzte Zahl, die als Ende ausgezeichnet werden könnte. Es gibt keine Endzahl.

Die Unterscheidung von Anfang und Ende ist nur sinnvoll, wenn sie chiastisch verstanden wird. Es gibt somit eine Vielheit von Anfängen und eine Vielheit von Enden. D.h. es gibt eine Vielheit von Zahlensystemen und zwischen diesen gilt die Unterscheidung von Anfang und Ende. Was in der einen Zahlenreihe ein Ende ist, ist in der anderen Zahlenreiche ein Anfang. Es gibt somit auch nicht den ausgezeichneten Anfang, sondern Anfänge. Es gibt keinen Ursprung, sondern Vielheiten des Anfangens und Vielheiten des Endens.

Der Konstruktivismus in der Mathematik legt grossen Wert auf den sicheren Anfang und konstruiert sukzessive in ein Unendliches hinein. Die ko-konstruktivistische Mathematik (Coalgebra, Coinduction usw.) legt Wert auf ein Unendliches und reduziert sich sukzessive auf ein Endliches.

Der Begriff der Sukzession, des schrittweisen Vorgehens, der Schrittzahl, des Schrittes überhaupt, ist dahingehend zu dekonstruieren, dass der Schritt als chiastischer Gegensatz des Sprunges verstanden wird.

Der Schritt hat als logischen Gegensatz den Nicht-Schritt, den Stillstand. Der lineare Schritt, wie der rekurrente Schritt schliessen den Sprung aus. Schritte leisten keinen Sprung aus dem Regelsatz des Schrittsystems.

Vom Standpunkt der Idee des Sprunges ist der Schritt ein spezieller Sprung, nämlich der Sprung in sich selbst, d.h. der Sprung innerhalb seines eigenen Bereichs.

Wenn Zahlen Nachbarn haben, werden diese nicht durch einen Schritt, sondern einzig durch einen Sprung erreicht (besucht).

Die Redeweise in endlich vielen Schritten" muss nicht nur auf die Konzeption der Endlichkeit, sondern auch auf die Schritt-Metapher hin dekonstruiert werden.

Es gibt einen und nur einen Anfang und es gibt kein Ende; ein Ende ist niemals erreichbar. Kein Ende heisst Unendlichkeit. Daher die schiefe Dichotomie: Anfang/Unendlichkeit. Gäbe es ein Ende, dann wäre dieses Denken erneut konfrontiert mit seiner (mythischen) Vergangenheit von der es sich gerade losgelöst hat.

Doch was für Aritoteles und seine Jünger virulent war, muss für uns nicht notwendigerweise irgend eine Verbindlichkeit haben. Ebenso braucht man nicht ein Verehrer des Circulus Creativus zu sein, um dem ursprungsmythischen Denken zu entweichen.

War die Absage Aristoteles von Platon und Pythagoras historisch zwingend, so sind wir heute mit der, gewiss vibranten Aufgabe befasst, ein Denken nach Aristoteles, also ein zumindest non-Aristotelisches und weitergehend ein trans-Aristotelisches Denken, jenseits von Zyklus und Linie, d.h. auch von eindeutigen Figuren zu wagen.

Die historische Aufgabe, eine non-von-Neumann-Maschine (Non-Von) zu konzipieren ist eh schon in der Nomenklatur seines Namens inskribiert.